已知銳角三角形ABC之垂心為H，設BC=a、CA=b、AB=c、HA=x、HB=y、
HC=z，
(1)求證 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(此題已經證出來了)
(2)利用(1)，試證(a/x)+(b/y)+(c/z)=(abc/xyz)
高中三角函數證明題
2010-03-17 5:54 pm
回答 (2)
2010-03-19 6:51 am
✔ 最佳答案
如圖 圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD04686329/o/151003170195113872247240.jpg
∠1=90度-∠DHC=90度-∠AHF=∠2
so,△ABD~△CHD (AA) then AB/HC=BD/HD (對應邊成比例)
又CEHD四點共圓(對角互補), so, ∠BHD=∠ACB
tanC=tan(∠BHD)=BD/HD=AB/HC=c/z
同理tanB=b/y, tanA=a/x
帶入(1)tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC,
故 (a/x)+(b/y)+(c/z)=(a/x)*(b/x)*(c/x)=(abc)/(xyz)
2010-03-18 3:00 am
(2)
設AD⊥BC, BE⊥AC, CF⊥AB,則
∠CHE=∠BHF=∠A, ∠CHD=∠AHF=∠B, ∠BHD=∠AHE=∠B
(∠A+∠FHE=180, ∠B+∠FHD=180, ∠C+∠DHE=180)
=>BF=ysinA=acosB,AE=ccosA=xsinC,CD=bcosC=zsinB
=> tanA=sinA/cosA= [acosB/y]/ [xsinC/c]=a/x…..(ccosB=ysinC=BD)
tanB= sinB/cosB= [bcosC/z]/ [ysinA/a]=b/y….. (acosC=zsinA=CE)
tanC= sinC/cosC= [ccosA/x]/ [zsinB/b]=c/z……(bcosA=xsinB=AF)
故 a/x+ b/y+ c/z=(abc/xyz)
2010-03-17 22:19:54 補充：
訂正
∠BHD=∠AHE=∠C
設AD⊥BC, BE⊥AC, CF⊥AB,則
∠CHE=∠BHF=∠A, ∠CHD=∠AHF=∠B, ∠BHD=∠AHE=∠B
(∠A+∠FHE=180, ∠B+∠FHD=180, ∠C+∠DHE=180)
=>BF=ysinA=acosB,AE=ccosA=xsinC,CD=bcosC=zsinB
=> tanA=sinA/cosA= [acosB/y]/ [xsinC/c]=a/x…..(ccosB=ysinC=BD)
tanB= sinB/cosB= [bcosC/z]/ [ysinA/a]=b/y….. (acosC=zsinA=CE)
tanC= sinC/cosC= [ccosA/x]/ [zsinB/b]=c/z……(bcosA=xsinB=AF)
故 a/x+ b/y+ c/z=(abc/xyz)
2010-03-17 22:19:54 補充：
訂正
∠BHD=∠AHE=∠C
收錄日期: 2021-04-30 14:19:45
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100317000015KK01951