北模指考數學2題

1. z+1/z=(a+bi)+(a-bi)/(a^2+b^2)為整數(虛部=0)
(虛部)b- b/(a^2+b^2)=0, 因b不為0, so, a^2+b^2=1 (設(a,b)=(cost, sint)
(實部) a+ a/(a^2+b^2) = 2a 為整數, so, 2cost為整數
then 2cost= -2, -1, 0, 1, 2,
thus, a=-1, -1/2, 0, 1/2, 1
(a, b)=(+/-1,0), (+/-1/2, +/- √3/2), (0, +/- 1)共8個點
2. 設∠A=2t, then
∠B=∠ACB= 90-t
∠ACD=30-t, ∠ADC=150-t
三角形ACD中, 正弦定理:
3sin(30-t) = sin(150-t)
3(cost-√3 sint)= cost+√3 sint
tant=sint/cost= 1/√12
cosA=cos(2t)= (1- 1/12)/(1+1/12)= 11/13

2010-03-05 03:05:20 補充：
謝謝指教!
b不等於0, so,(a, b)=(+/-1, 0)(不合), (+/-1/2, +/- √3/2), (0, +/- 1)共6個點
z=a+bi共有6解

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b不等於0