方程式整數解及範圍

Q2: 121 x³ - z³ = -y(3x+2y)² ? [121x^3 - z^3= - y (3x+2y)^2 ? ]

2010-03-03 16:33:44 補充：
Q1:
改一下變數m~x,
解√[(4-x)x] = 4+nx
or y=√(4x-x^2)與 y=4+nx之交點(x)
(1) y=√(4x-x^2)為上半圓,圓(2,0), r=2
(2) y=4+nx為過(0,4)斜率n之直線
二相異實根, so, y=4+nx介於L1與L2之間(自行作圖)
L1: 過(0,4),(4,0): y=4-x
L2: 過(0,4)與上半圓 (x-2)^2+y^2=4相切, so, 斜率n= -√3
so, -√3< n < -1


2010-03-03 16:48:43 補充：
更正: L2: n = -3/4
so, Ans: -1 < n < -3/4

2010-03-03 22:10:29 補充：
今天沒空,明天下午或晚上再解,OK!?

2010-03-04 22:05:38 補充：
Q1:(1) (0,0,0)顯然為一解,再求其他解,設(x,y,z)不全為0
(2)因121x^3, z^3, y(3x+2y)^2均為3次齊次多項式,so,若(a,b,c)為一解,則(ka,kb,kc)亦為解
so,可設(x,y,z)最大公因數為1(互質)
(3)121x^3-z^3=-y(3x+2y)^2兩邊同除以9考慮其餘數(即mod 9運算,希望你看得懂),then
4x^3+3xy^2+4y^3≡z^3(mod9) ---(A)

2010-03-04 22:05:53 補充：
(a)若x為3倍數,則 4y^3≡z^3(mod9),
又z^3 mod 9只有3種可能(0,1,-1), 而4y^3 mod 9只有0,4,-4三可能,故y,z均為3倍數(不合)
同理y亦非3倍數

2010-03-04 22:06:04 補充：
(b)由(a)知x不是3倍數,不失一般性,可設x=3a+1(由(2)可知),代入(A),再mod9得
4+3y^2+4y^3≡z^3(mod 9) ----(B)
y以3b+1代入(B)式,得2≡z^3(mod9)不可能
y以3b-1代入(B)式,得3≡z^3(mod9)不可能

2010-03-04 22:06:10 補充：
由(a),(b)知x不存在,即無解, so 唯一解(x,y,z)=(0,0,0)

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