圓內接 n 邊形的最大面積

設圓內接n邊形圓心角各為x1,x2,...,xn, so
0<x1,...,xn<π, and x1+x2+...+xn=2π,
n邊形面積A=(1/2)r^2*[sin(x1)+...+sin(xn)]
while the curve y=sinx is concave down for x=0~π
so [sin(x1)+...+sin(xn)]/n <= sin[(x1+...+xn)/n]=sin(2π/n) ----(1)
thus A <= (1/2)r^2 *n*sin(2π/n).

Note: if x1=...=xn(=2π/n), then A gets the maximum.


2010-02-26 16:24:19 補充：
(橢圓case)
圓心角x1相對之三角形(n邊形之一小塊)面積=(1/2)r^2 sin(x1)
將圓x^2+y^2=r^2作 linear mapping (X,Y)=(ax/r, by/r) 得X^2/a^2+Y^2/b^2=1,then
上述三角形(圓心角x)相對得新三角形面積=(1/2)ab*sin(x1)
so,橢圓內接n邊形面積=(1/2)ab*[sin(x1)+sin(x2)+..+sin(xn)]
<= (1/2) ab * n* sin[(x1+...+xn)/n] = (1/2)ab*n*sin(2π/n)

2010-02-27 22:21:12 補充：
經過zoom mapping (X,Y)=(ax/r, by/r)後
面積(1/2)r^2sin(x1)變成(1/2)ab*sin(x1),是大小關係,原圓心角x1,與新"圓心角"
應該是不同,但面積仍為(1/2)ab*sin(x1)
mapping後n邊形總面積=(ab/2)[sin(x1)+...+sin(xn)]最大為(ab/2)*n*sin(2pi/n)
與最大面積mapping後是否仍最大面積無關!

不能補充，唯貼意見：

橢圓形長徑為 a 短徑為 b ，內接 n 邊形的最大面積為何？如何證明？

2010-02-27 22:05:47 補充：
(1/2)r^2 sin(x1)
linear mapping (X,Y)=(ax/r, by/r)
(1/2)ab*sin(x1)

請問
為何角x1不變？
為何經此mapping 後能保證面積最大？

1. sin[ ( a + b ) / 2 ]>= [ sin(a) + sin(b) ] / 2…………………….(由和差化積)

2. sin[(a+b+c+d)/4 ] >=[sin(a)+sin(b)+sin(c)+sin(d)]/4…..( 由1.)

3.在2.中令d=(a+b+c)/3,可得到
sin[(a+b+c)/3 ] >=[sin(a)+sin(b)+sin(c)]/3
4. sin[(a+b+c+…)/8 ] >=[sin(a)+sin(b)+….]/8,……………………( 由1.2.)

5. 4.中令f,g,h= (a+b+c+d+e)/5, 可得到
sin[(a+b+c+d+e)/5 ] >=[sin(a)+sin(b)+sin(c)+ sin(d)+ sin(e)]/5

6.等號成立的條件為:a=b=c=…..

7. a1+a2+..+an=2π
故sin(2π/n) >=[sina1+sina2+…+ sinan]/n