matrix1

find
A^n

where A is the matrix defined as below:

Ａ＝〔２　－１〕

　　〔２　　５〕

Sol

｜２－ｐ　－１｜

｜２　　５－ｐ｜

=(2－p)(5－p)+2

=p^2－7p+12

=(p－3)(p－4)=0

p=3 or p=4

Set x^n=ax+b

3^n= 3a +b

4^n= 4a +b

a=4^n－3^n，b=4*3^n－3*4^n

So

A^n=(4^n－3^n)A+(4*3^n－3*4^n)I







2010-03-04 12:49:44 補充：
Ａ＝〔２　－１〕
　　〔２　　５〕
｜２－ｐ　－１｜
｜２　　５－ｐ｜
=(2－p)(5－p)+2
=p^2－7p+12
So
p^n=q(n)(p^2－7p+12)+ap+b
對應
A^n=q(A)(A^2－7A+12I)+aA+bI
多項式與矩陣有相同特性

螞蟻雄兵，你似乎正在告訴我們一條定理：
Aⁿ = aA + bI , where a and b satisflies both λ1ⁿ = aλ1 + b and λ2ⁿ = aλ2 + b , λ1 and λ2 are eigenvalues of A.

為甚麼這條定理可以運作？其原理是甚麼？可容許使用的matrix A的類型是甚麼？

2010-02-26 15:16:23 補充：
既然螞蟻雄兵不肯回應，唯有自行搜尋資料吧！

從螞蟻雄兵發問的一條問題http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509022005743，暗示了他在這題其實用了一種神級的方法，當中牽涉了一條theorem，就是Cayley–Hamilton theorem（http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Hamilton_theorem）。

2010-02-26 15:39:23 補充：
Cayley–Hamilton theorem告訴我們：
對於任何square matrix A，若其characteristic polynomial是p(λ) = 0，則p(A) = 0。

但這樣仍未有告訴我們搵Aⁿ的方法，還需要配合一些東西。

回到中學時代，
λⁿ可以寫成λⁿ = Q(λ)p(λ) + R(λ)

而其實Aⁿ也可以寫成Aⁿ = Q(A)p(A) + R(A)

因此變成搵Aⁿ其實只需要搵R(A)，而搵R(A)可以藉著搵R(λ)而求得，因為R(λ)與R(A)的所有coefficient其實是完全一樣的。

2010-02-26 15:46:56 補充：
至於點解是代eigenvalue呢？因為eigenvalue是唯一一種數值可以使p(λ) = 0，使Q(λ)p(λ) = 0，從而求得R(λ)。

想看看別人會怎樣做~~

2010-03-04 19:59:48 補充：
wow 又學多一種方法
早該給你五星!

這真是子路大的問題嗎?