試證：{(1+根號13)n-(1+根號13)n/(2n根號1

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2010-02-21 6:48 pm

試證：{(1+根號13)^n-(1+根號13)^n/(2^n根號13)}為自然數

詳細些謝謝

更新1:

打錯了抱歉 (1-根號13)^n

更新2:

(1+根號13)^n-(1-根號13)^n

回答 (5)

天助

2010-02-21 8:42 pm

✔ 最佳答案

1. 原理:若r1, r2為x^2+Ax+B=0之根,則a(n)=k1*r1^n+k2*r2^n
滿足a(n+2)+Aa(n+1)+Ba(n)=0
(代入便知,這是常係數線性差分方程式基本原理)
2. 本題 (1+/-√13)/2 為x^2-x-3=0之根
so, a(n)={[(1+√13)/2]^n - [(1-√13)/2]^n }/√13
滿足a(n+2)=a(n+1)+3a(n), n=0,1,2,3,4...
而a(0)=0, a(1)=1, so, a(2)=a(1)+3a(0)=1, a(3)=a(2)+3a(1)=4, ...
故(由M.I.知) a(n)為正整數 for n=1,2,3,4,...

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rex

2010-02-21 8:13 pm

最直接的作法應該是數學歸納法吧

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[匿名]

2010-02-21 7:14 pm

錯目有錯吧，n=1時就不是自然數了。

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高萌度數學娘

2010-02-21 7:08 pm

題目有錯吧，另外分母請打清楚一點= =
(1+根號13)^n-(1+根號13)^n不是恆為零?

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[匿名]

2010-02-21 6:51 pm

請問^是什麼意思???

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收錄日期: 2021-04-30 14:27:30
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100221000015KK02485

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