Arc length

(a) dx/dt=1,dy/dt=2t
arc length=∫√(1+4t^2) dt [from 0 to 1]
By the hint, √(1+4t^2)=sec(tan^-1 2t). Let x=tan^(-1) 2t
2t=tanx, when t=0,x=0. when t=1,x=tan^(-1) 2
2dt=sec^2 x dx

So ∫√(1+4t^2) dt =∫sec x (sec x)^2 /2 dx
= 1/2 ∫(secx)^3 dx
=(1/2)[(1/2)tanxsecx+(1/2)∫sec x dx]
=(1/4)[2√5+ln|secx+tanx|]
=(1/4)[2√5+ln(√5+1)]

(b) dy/dx=√(x^3-1)
arc length=∫√x^3 dx [from 1 to 2]
=(2/5)x^(5/2) | (2,1)
=(2/5)(4√2-1)

評論：(a) 個提示是幫你直接諗到將原積分變成sec。(b) 上限不需要用x﹐因為原本y=∫√(u^3-1) du [from 1 to x] 根本上就是y=f(x)。你將x用1,1.1,1.2,...2照樣可以畫出y的曲線。所以我們可以用一般的arc length公式﹐只要代入適當的x的上下限(即1和2)便成。

按：六呎將軍(a)中t=tanθ/2﹐則t=1時﹐θ應是tan^(-1) 2 而不是π/4。 (b)中上下限一開頭是1和2﹐但其後無緣無故變成0和1﹐這些都應該是受慣性思維的影響而出錯吧。

咁我改為寫意見:

http://i388.photobucket.com/albums/oo325/loyitak1990/Feb10/Crazyint2.jpg
http://i388.photobucket.com/albums/oo325/loyitak1990/Feb10/Crazyint3.jpg