積分問題part2

1. let u=√(1+e^x), u^2=(1+e^x), 2udu=e^xdx
2du=e^x/√(1+e^x) dx, x=ln|u^2-1|
∫xe^x/(1+e^x) dx
=∫2ln|u^2-1| du
=2*∫[ln|u+1|+ln|u-1| ]du
=2*[(u+1)*ln|u+1|-u+(u-1)*ln|u-1|-u]
=2*{[(1+e^x)+1]*ln|√(1+e^x)+1|+[(√(1+e^x)-1])*ln|√(1+e^x)-1|-2√(1+e^x)}+C

2. let u=√x , u^2=x, 2udu=dx
∫√x/(x-1)=∫2u^2/(u^2-1) du
=∫[2+2/(u^2-1)] du
=∫[2+1/(u-1)-1/(u+1)] du
=2u+ln|(u-1)/(u+1)
=2√x+ln|(√x-1)/(√x+1)+C

不是很喜歡用三角變換~~

2010-02-05 20:26:23 補充：
積分的形式本來就不是唯一

2010-02-06 04:51:17 補充：
多謝行雲兄指正
1.=2*{[√(1+e^x)+1]*ln|√(1+e^x)+1|+[(√(1+e^x)-1])*ln|√(1+e^x)-1|-2√(1+e^x)}+C

都是第1題的問題:

TO 天助:
題目給定的 (1+e^x)^1/2 是在分母喔
那後續就甭我說了

TO rex :
最後把u換回x的時候:
... 2*[(u+1)*ln|u+1| ... =2*{[(1+e^x)+1]*ln|√(1+e^x)+1| ...
應該是:
... 2*[(u+1)*ln|u+1| ... =2*{[√(1+e^x)+1]*ln|√(1+e^x)+1| ...
少一個根號 其他應該沒問題

2010-02-05 22:48:21 補充：
至於第2題:

TO板大:
2位答者的答案其實是一樣的
[天助的答案]
= -2 ln| 1+√x| + ln| 1-x | + 2√x + C
= ln| (1+√x)(1-√x)/(1+√x)^2 | + 2√x + C
= ln| (1-√x)/(1+√x) | + 2√x + C
= ln| (√[x]-1)/(√[x]+1) | + 2√x + C ...(*)
=[rex的答案]

(*)可以互換是因為絕對值: |a|=|-a|

Q1:
∫x e^x√(1+e^x) dx (integration by parts)
= 2x√(1+e^x) - 2∫√(1+e^x) dx (sub. x=2 ln(tant))
= 2x√(1+e^x) - 2∫sect*2 (sec t)^2 / tant dt
= 2x√(1+e^x) - 4∫csct+ sect*tant dt
= 2x√(1+e^x) - 4[ ln|csct - cot t|+ sect]+c
= 2x√(1+e^x) - 4 ln| √(1+e^x) - 1| + 2x - 4√(1+e^x) + c

Q2:
sub. x=(sint)^2, then
∫√x /(x-1) dx = - 2∫sint/(cost)^2* sint*cost dt
= -2∫[1-(cost)^2]/cost dt
= -2∫(sect - cost) dt
= -2 ln| sect+tant| + 2 sint + c
= -2 ln| 1+√x| + ln| 1-x | + 2√x + c

2010-02-05 22:56:18 補充：
Q1:
∫x e^x/√(1+e^x) dx (integration by parts) (少一個除號,其他沒錯!)

2010-02-05 23:35:59 補充：
Q1=2*[(u+1)*ln|u+1|-u+(u-1)*ln|u-1|-u]+c
=2[ u ln|u+1|+ u ln|u-1| + ln|u+1|-ln|u-1| - 2u]+c
= 2[ u ln|u^2 -1| + ln| (u^2-1)/(u-1)^2| -2u]+c
= 2[ u ln|u^2-1|+ ln|u^2-1| - 2ln|u-1| - 2u]+c
= 2[√(1+e^x)* x + x - 2ln|√(1+e^x) - 1| - 2√(1+e^x)]+c
= 2x√(1+e^x) + 2x - 4ln|√(1+e^x) -1 | - 4√(1+e^x)+c 相同!