行列式證明題

(1)
1 ，1 ， 1 , 1
a ，b ， c , d
a^2，b^2 ，c^2，d^ 2
a^4，b^4 ，c^4，d^4


第一行*(-1)加上第二行, 第三行, 第四行…得


1，0，0，0
a，b-a，c-a，d-a
a^2，b^2- a^2，c^2- a^2，d^2- a^ 2
a^4，b^4- a^4，c^4 -a^4，d^4-a^4
降階得


b-a，c-a，d-a
b^2- a^2，c^2- a^2，d^2- a^2
b^4- a^4，c^4 -a^4，d^4-a^4


提公因式(b-a)(c-a)(d-a)得
1，1，1
b+ a，c+a，d+a
(b+ a)( b^2+a^2),(c+a)( c^2+a^2),(d+a)( d^2+a^2)
第一行*(-1)加上第二行, 第三行得
1，0，0
b+ a，c-b，d-b
(b+ a)( b^2+a^2),c^3-b^3+a^2(c-b)+a(c^2-b^2) , d^3-b^3+a^2(d-b)+a(d^2-b^2)
降階得
c-b，d-b
c^3-b^3+a^2(c-b)+a(c^2-b^2) , d^3-b^3+a^2(d-b)+a(d^2-b^2)
提公因式(c-b)( d-b)得
1,1
c^2+cb+b^2+a^2+a(c+b), d^2+db+b^2+a^2+a(d+b)
展開得
d^2-c^2+b(d-c)+a(d-c)= (d-c)(a+b+c+d)
以上紅色部分相乘

a等於
(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)

(2)
x，-1，0，0 , 0
0，x，-1，0 , 0
0，0，x，-1 , 0
0，0，0，x , -1
a5,a4,a3,a2, x+a1
按第5列降階得
(x+a1)x^4- a2(-x^3)+a3(x^2)- a4(-x)+ a5
=x^5+a1 x^4+ a2 x^3+a3(x^2)+ a4 x+ a5
註
1.n=5的情形如上,一般情形寫法亦同
2. a4 x如下
a4乘上(去除第2行, 第5列)之4乘4矩陣
x，-1，0，0 , 0
0，x，-1，0 , 0
0，0，x，-1 , 0
0，0，0，x , -1
a5,a4,a3,a2, x+a1

2010-02-05 14:53:27 補充：
(網頁有誤)
按第5列降階得
(x+a1)x^4- a2(-x^3)+a3(x^2)- a4(-x)+ a5
=x^5+a1 x^4+ a2 x^3+a3(x^2)+ a4 x+ a5
註
1.n=5的情形如上,一般情形寫法亦同
2. a4 x如下
a4乘上(去除第2行, 第5列)之4乘4矩陣
.
x，0，0 , 0
0，-1，0 , 0 ……等於-x
0，x，-1 , 0
0，0，x , -1
(右上角都是0
只要乘對角線即可)
(再乘-1....a4在第2行, 第5列,和為奇數)

2010-02-05 15:00:45 補充：
大師 指點一下
可能可以簡化過程

2010-02-05 20:10:10 補充：
(1)
令f(x)=
1 ，1 ， 1 , 1
x ，b ， c , d
x^2，b^2 ，c^2，d^2
x^4，b^4 ，c^4，d^4
故f(x)為4次多項式,而f(b)= f(c)= f(d)=0…兩行相同

2010-02-05 20:10:33 補充：
且x^4的係數為(b-c)(c-d)(d-b)……………凡得夢行列式
故f(x)= (b-c)(c-d)(d-b)[(x-b)(x-c) (x-d)(x-t)]
再由4根之和=0,b+c+d+t=0,得t=-( b+c+d)
即f(x)= (b-c)(c-d)(d-b)[(x-b)(x-c) (x-d)(x+b+c+d)
f(a)= (b-c)(c-d)(d-b)[(a-b)(a-c) (a-d)(a+b+c+d)

2010-02-05 20:16:18 補充：
註
(1)凡得夢行列式為
1….，1 ,…..1
b…..., c ,….d
b^2…,c^2，d^2
.
(2)f(x)之x^3係數=0
故4根之和=0

2010-02-05 20:22:51 補充：
訂正:
x^4的係數
忘了加負號

Q2:設原式=D(n),以第1column降階得
D(n)=xD(n-1)+(-1)^(n+1)a(n)*(-1)^(n-1)
(note:去掉a(n)後之子行列式為下三角,對角線均為-1)
so,
D(n)=xD(n-1)+a(n)
=x[xD(n-2)+a(n-1)]+a(n)=x^2D(n-2)+xa(n-1)+a(n)
= .....=x^(n-1)*D(1)+x^(n-2) a(2)+ ...+x a(n-1)+a(n)
=x^(n-1)*[x+a(1)]+x^(n-2) a(2)+....+a(n)
=x^n+ a(1)x^(n-1)+...+a(n)

真是五體投地~~~~~~佩服佩服