三角函數積分 part5

(1+cosx)/sinx 的不定積分

先把他化簡成cscx+(cosx/sinx) 右邊let u=sinx du=cosxdx
故變成:積分[(cscx+1/u)du]
=ln(cscx-cotx)+ln(sinx)+c
=ln[cscx的平方-cosx/(sinx的平方)]+c

積分cscxdx的方法:先把分子分母同乘cscx-cotx
let u=cscx-cotx du=(-cscxcotx+cscx)dx
會發現分子全部變成du,分母改成u
故積分cscxdx=ln(cscx-cotx)了

2010-02-02 19:38:24 補充：
ln(cscx-cotx)+ln(sinx)+c
可化簡成:
ln[(cscx-cotx)/sinx]
分子分母同乘sinx得ln[(1-cosx)/(sinx)的平方]
=ln{(1-cosx)/[1-(cosx)的平方]}
=ln[1/(1+cosx)]

2010-02-02 19:48:04 補充：
參考意見裡面的煩惱即是菩提的那題
可想出此作法:分子分母同乘1+cosx
積分(1+cosx)平方/[sinx(1+cosx)]
let u=1/(1+cosx) 則 du=sinx/(1+cosx)平方dx
會發現式子可以變:積分1/u du
解答:ln[1/(1+cosx)]

2010-02-02 22:27:09 補充：
不對,意見他所說的是不同題!
解答是ln[1/(1+cosx)]
非ln| 1- cosx |

2010-02-03 10:56:46 補充：
他做的題目跟版主的題目不一樣= =
版主題目:∫(1+cosx)/sinx dx
菩提大大題目:∫ sinx/(1-cosx) dx

2010-02-03 11:02:05 補充：
喔喔,我知道了,對不起,我搞錯了@@

2010-02-03 11:11:25 補充：
抱歉,我搞錯了,ln| 1- cosx |=ln[1/(1+cosx)] 解答這兩個都沒錯

菩提大大一步就做出來了

答案如下：
http://i320.photobucket.com/albums/nn347/old-master/100120_1.jpg?t=1265109138


圖片參考：http://i320.photobucket.com/albums/nn347/old-master/100120_1.jpg?t=1265109138


2010-02-02 19:22:21 補充：
第二行加上括號會較為清楚：
∫(cscx dx + cotx dx) 或 ∫(cscx + cotx)dx

原式=∫ sinx/(1-cosx) dx = ln| 1- cosx | + C