數學問題一問..(thx)萬分感激!!!!!

數學歸納法: n為正整數證明:

1).(n+1)(n+2)(n+3)...(2n－1)(2n)=2^n*1*3*5*...*(2n－1)

Sol

當 n=1 時

左=2

右=2^1*1=2

So n=1 時為真

設n=k時為真

即 (k+1)(k+2)(k+3)...(2k－1)(2k)=2^k*1*3*5*...*(2k－1)

(k+2)(k+3)...(2k-1)(2k)*(2k+1)(2k+2)

=2*(2k+1)*[(k+1)(k+2)(k+3)…(2k－1)(2k)]

=2*(2k+1)*[2^k*1*3*5*...*(2k－1)]

=2^(k+1)*1*3*5*…*(2k－1)*[2(k+1)－1]

So n=k+1時為真



2).cosx +cos3x +cos5x +...+cos(2n－1)x=sin2nx/(2sinx)

Sol

當 n=1 時

左=cosx

右=sin2x/(2sinx)=cosx

So n=1 時為真

設n=k時為真

即 cosx +cos3x +cos5x +...+cos(2k－1)x=sin2kx/(2sinx)


cosx +cos3x +cos5x +...+cos(2k－1)x+cos(2k+1)x

=sin2kx/(2sinx)+cos(2k+1)x

=(sin2kx+2sinxcos(2k+1)x)/(2sinx)

=(sin2kx+sinxcos(2k+1)x+cosxsin(2k+1)x+sinxcos(2k+1)x-cosxsin(2k+1)x)/(2sinx)

=(sin2kx+sin(2k+1)x+sin(x－(2k+1)x))/(2sinx)

=(sin2kx+sin(2k+1)x－sin2kx)/(2sinx)

=sin(2k+1)x/(2sinx)

So n=k+1時為真



3).證明3*5^(2n+1)+2^(3n+1)可被17整除

Sol

當 n=1 時

3*5^3+2^4=375+16=391=17*23

So n=1 時為真

設n=k時為真

存在正整數p使得

3*5^(2k+1)+2^(3k+1)=17p

=> 3*5^(2k+1)=17p－2^(3k+1)

So

3*5^[2(k+1)+1]+2^(3(k+1)+1]

=3*5^(2k+1+2)+2^(3k+4)

=25*3*5^(2k+1)+2^(3k+4)

=25*[17p－2^(3k+1)]+2^(3k+4)

=25*17p－50*2^k+16*2^k

=17*[25p－2^(k+1)]

So n=k+1時為真



4).平面內有n條直線，其中任何兩條直線都不平行，任何三條直線都不共點

，求證:這n條直線將平面分割成n(n+1)/2 + 1 個部分.

Sol

當 n=2 時

2*(2+1)/2+1=3+1=4

So n=1 時為真

設n=k時為真

即 k條直線將平面分割成k(k+1)/2+1個部分

k(k+1)/2+1+(k+1)

=(k+1)/2*(k+2)

=(k+1)(k+1+1)/2

So n=k+1時為真



5).證明:3^n + 4^n<5^n (n>2)

Sol

當 n=3 時

3^3+4^3=27+64=81<125=5^3

So n=1 時為真

設n=k時為真

=> 3^k+4^k<5^k

So

3^(k+1)+4^(k+1)

=3*3^k+4^(k+1)

<3*(5^k-4^k)+4^(k+1)

=3*5^k－3*4^k+4^(k+1)

=3*5^k+4^k

<4*5^k+5^k

=5^(k+1)

So n=k+1時為真



6).已知 x>0，證明:(1+x)^n>=1+nx

當 n=1 時

左=1+x

右=1+x

So n=1 時為真

設n=k時為真

即 (1+x)^k>1+kx

(1+x)^(k+1)

=(1+x)*(1+x)^k

>(1+x)(1+kx)

=1+kx+x+kx^2

>1+(k+1)x

So n=k+1時為真

6題都用M.I.會需要好多位- -