常、偏微分方程問題??

Q1:
by separation of variable
u(x,t)=Σ a(n)X(x)T(t),
其中 X(x),T(t) 滿足 T'/(4T)= X"/X = -(n/2)^2, n為整數1,2,3,4,...
u(x,t)=Σ exp(-n^2 t)*a(n)sin(nx/2) (週期 4pi)
又 u(x,0)=x(2π-x), 0<x<2π
故將 x(2π-x)作Fourier sine (半幅)展開, 得
a(n)= 32/(π n^3), n=1,3,5, ..., a(2)=a(4)=a(6)=...=0
故u(x,t)=(32/π)Σ[n=1~∞] exp[-(2n-1)t] sin[(2n-1)x/2]/(2n-1)^3

Q2:
u"(x)=
{ 2 , x in[-1,0)
{-2 , x in(0,1]
so,
u'(x)=
{ 2x+a , x in[-1,0)
{-2x+a , x in(0,1]
Note: 因 u'(x)在x=0時conti, so兩者常數項相同
u(x)=
{ x^2+ax +b, x in[-1,0)
{-x^2+ax +b, x in(0,1]
又u(-1)=u(1)=0, so, a= -1, b=0, 故
u(x)=
{ x^2-x, x in [-1,0)
{- x^2-x, x in(0, 1]

Note:u(x), u'(x)在 x=0處必conti, 否則u"(x)在x=0處不會是
Jump discontinuous.

2010-01-31 13:33:58 補充：
Q1:
題目原本就對t求偏導,算是邊界條件,為何要改為對x求偏導呢?
就因對t偏導,so,u(x,t)=Σ exp(-n^2 t)*a(n)sin(nx/2)
若對x偏導才是u(x,t)=a(0)+Σ exp(-n^2 t)*a(n)cos(nx/2)
個人覺得本題要注意的是:為何取u(x,0)的半幅展開,又是哪個半幅展開?

這題的最後一行偏微分部分是不是應該改成對x偏微？？

是的(insulated ends). 對t偏微的條件不保證有解. 另外天助解出的是沒有對x偏微的問題(0邊界值)
u(x,t)=Σ exp(-n^2 t)*a(n)sin(nx/2) 應該是u(x,t)=a(0)+Σ exp(-n^2 t)*a(n)cos(nx/2)

2010-02-02 10:56:13 補充：
對t偏微的條件不保證有解.---->我應該說對t偏微的條件不保證有唯一解.
如果堅持用對t偏微的邊界條件,那麼u(x,t)=ax+b, for any a, b real 還有u(x,t)=Ce^(-4t)cosx,u(x,t)=Ce^(-4t)sinx等等是不是都該被包括在通解裡而不僅是u(x,t)=Σ exp(-n^2 t)*a(n)sin(nx/2)?
物理上這是熱傳問題,使用者可能說不清楚為何對t偏微的邊界條件不可用. 數學上這是此問題是否well-posted的關鍵. 若發現一問題不一定有解或解未必唯一時, 數學家不盲目啟動計算的.

2010-02-02 11:07:56 補充：
天助的推導
by separation of variable
u(x,t)=Σ a(n)X(x)T(t),
其中 X(x),T(t) 滿足 T'/(4T)= X"/X
到此皆對.至於 =-(n/2)^2, n為整數1,2,3,4,... 就是 u(0,t)=u(2pi,t)=0的必然結果,然而 u_t(0,t)=u_t(2pi,t)=0 無法只結論如上.

2010-02-02 11:18:56 補充：
為什麼第一題的週期是4pi阿????
不是2拍嗎??
這是使用合適邊界條件[u(0,t)=u(2pi,t)=0 or u_x(0,t)=u_x(2pi,t)=0 ]計算出的部分結論,它是對的. cos(nx/2) or sin(nx/2) 的週期是4pi !

2010-02-02 11:25:35 補充：
cos(nx/2) or sin(nx/2) 的週期是4pi : [-2pi,2pi]; 我們要的是[0, pi], on which the initial condition u(0,t) is prescribed.

2010-02-02 11:28:12 補充：
the initial condition u(0,t) is prescribed. --->the initial condition u(x,0) is prescribed.