有點煩的數學小問題

Q1:
OA, OB, OC兩兩垂直, 且長度為1,又向量OA+OB+OC=(1,1,1)
故以(0,0,0),(1,1,1)為直徑之球即得!
(想像立方體即可)

Q2:
(設 n>1, or n<0)觀察y=x^n之圖形(凹向上concave upward)
設A(a, a^n), B(b, b^n)
取AB線段之內分點P, 使AP: BP= y: x (x+y=1)
則P( ax+by, x a^n + y b^n)
因為凹向上故AB線段在AB弧線(曲線)上方,
故線段高度 x a^n + y b^n >= 曲線高度(ax+by)^n
Note: 0<n<1時, 大小相反

Q3:
求 y/x + x/y, (兩變數相反)故設 y/x= m (設 x/y=m亦可)
而y/x=m即 mx-y=0表過(0,0)之直線, 且x,y滿足圓(x-3)^2+(y-2)^2<=1
故m極值時, mx-y=0與圓相切,得 (3-√3)/4 <= m <= (3+√3)/4
約 0.3多 至 1.18多之間
又 y/x+ x/y= m+1/m
當 m=1(合)時有最小值 2
當 m與1相距越遠時,m+ 1/m越大,
故 m=(3-√3)/4時 m+1/m=(33+5√3)/12為最大值

Q4:
(類似撞球)
設P對稱於OA,OB得 C, D兩點, 則
△PQR周長 >= CD線段長
又∠COD=2θ, cos(2θ)= 1-2(sinθ)^2= -7/25
由餘弦定理: CD^2=100+100- 200*(-7/25)=256
故周長 >= 16

(1)
設球面(x^2+y^2+z^2-(a^2+b^2+c^2))+k(x+y+z-1)=0
(0,0,0)代入,k=-1,接下來就簡單了

(2)
f(t)=t^n是下凸函數(凹向上)
由琴生不等式(xf(a)+yf(b))/(x+y)大於等於f((xa+yb)/(x+y))得證

(3)
先求出y=mx和圓相交的m範圍
所求m+(1/m)有最小值2,將m的範圍端點代入找最大值

(4)
p對OA,OB射線作對稱點Q,R,QR長就是了

其實這幾題都不怎麼簡單啊

2010-01-29 06:49:53 補充：
話又說回來了
你有自己移除問題的習慣
這樣對認真回答的人是很不禮貌的行為