柯西不等式證明

公式
設a>0且a,b,c均為實數
若f(x)=ax^2+bx+c>0對任意實數x恆成立
則判別式D=b^2-4ac<0

上述公式根據---龍騰高職數學C(III),第三冊第63頁
因為這個 f(x)=ax^2+bx+c>0
是說f(x)的函數值恆正 ,f(x)的圖形必須整個在x軸的上方
不可以有f(x)=0的解,所以 判別式b^2-4ac<0



證明:
(1)若a1=b1=c1=0顯然成立

(2)若a1,b1,c1不全為0時,考慮二次函數
f(x)=(a1-a2)^2+(b1-b2)^2+(c1-c2)^2
當x為實數時,f(x)>=0

將f(x)展開整理後得
f(x)=(a1^2+b1^2+c1^2)(x^2)-2(a1a2+b1b2+c1c2)x+(a2^2+b2^2+c2^2)>=0

因為二次項係數(a1^2+b1^2+c1^2)>0,又f(x)恆>=0
所以f(x)的判別式D<=0

即4(a1a2+b1b2+c1c2)^2-4(a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2)<=0

得證(a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2)>=(a1a2+b1b2+c1c2)^2

歡迎賜教:http://tw.myblog.yahoo.com/math-life

2010-01-22 23:18:12 補充：
參考資料:龍騰數學

來湊熱鬧~

一般性~

令f(x)=(a1x-b1)^2+......+(anx-bn)^2>=0

=(a1^2+...+an^2)x^2-2(a1b1+...+anbn)x+(b1^2+...+bn^2)>=0

對任意實數x

D<=0
.............................

^_^

如果要證明"柯西不等式"
應該是要證明其一般性(a1^2+...an^2)(b1^2+....bn^2)>=(a1b1+...anbn)^2
而一般性是不能用向量去證明的

這應該是課本上基本公式的證明吧…
了解定義後是很好著手的！
請參考：

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AA00626135/o/151001220299813872003560.jpg