數學題,急需解答!!!

(1) 2010 = 2 × 3 × 5 × 67
除了1以外,因數為2, 3, 5, 67, 2×3, 2×5, 2×67,3×5,3×67,5×67,2×3×5,
2×3×67, 2×5×67, 3×5×67及2×3×5×67
即1，2，3，5，6，10，15，30，67，134，201，335，402，670，1005及2010
(2)n=8m+3其中m為整數
7^n (mod 10)
≡7^(8m + 3) (mod 10)
≡7^3 × (7^4 )^2m (mod 10)
≡343 × (2401)^2m (mod 10)
≡3 × 1 (mod 10)
≡3 (mod 10)
所以7^n 的個位數字是3
(3)n=2010000…0002010
=2010 × 10^2006 + 2010
n^2 = (2010 × 10^2006 + 2010)^2
=2010^2 × (10^2006 + 1)^2
=4040100× (10^4012 + 2×10^2006 + 1)
=4040100 × 10^4012 + 8080200 × 10^2006 + 4040100
所有數字之和 = 9 + 18 + 9 = 36
(4) 10^2009 + 1 (mod 7)
≡(7 + 3)^2009 + 1 (mod 7)
≡3^2009 + 1 (mod 7)
≡[3^(7 - 1)]^334 × 3^5+1 (mod 7)
≡(1)^334 × 3^5+1 (mod 7) Since 3^(7 - 1) ≡ 1 (mod 7) by Fermat little theorem
≡3^5 + 1 (mod 7)
≡244 (mod 7)
≡6 (mod 7)
餘數是6
(5)n和2010除了1以外不能有共同因數.
除1以外和2010沒共同因數的有2010 × (1 - 1/2) × (1 - 1/3) × (1 - 1/5) × (1 - 1/67)
=528個

1.
2010=2X3X5X67

2.
n=8k+3 where k is a natural number

以下等號全部為三劃的等號

(7, 10)=1
7^[φ(10)]=7^4=1 (mod 10) ,

引用歐拉定理 , φ(10) 為歐拉函數, 表示 10 以內有多少個與10互質的數

7^n=7^(8k+3)=(7^3)(7^4)^(2k)=(7^3)(1^2k)=7^3=343=3 (mod 10)

所以 7^n 的個位數是 3

4.
10=3 (mod 7)
1000....001=10^2009+1=3^2009+1=3^7+1=1 (mod 7)

5.
即是問 小於2010的正整數中, 有多個數與2010互質
φ(2010)=2010(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/67)=528

2010-01-21 12:56:29 補充：
4.
10=3 (mod 7)
1000....001=10^2009+1=3^2009+1=3^0+1=2 (mod 7)