一題條件機率的問題

我用流程圖來表示好了
生小孩的機率 男男(1/4) 男女(1/2) 女女(1/4)


男男(1/4)=>男生會來開的機率(1)=> (1/4)
男女(1/2)=>男生會來開的機率(1/2)=> (1/4)
=>女生會來開的機率(1/2)=>(1/4) x
女女(1/4)=>女生會來開的機率(1)=>(1/4) x


你把女生會來開的機率排除掉，因為你已經知道男生開了
所以整個流程前進到第二部分，x路徑已經排除
走的路徑只能上兩個，故1/2

但如果家裡有男生，就一定要男生先開門的話
此題會變1/3

我思考了1/2與1/3，還分別撰寫了程式的結論，請參考，謝謝

2010-01-14 14:05:24 補充：
主張1/3的人大多只考慮小孩出生的機率，如同你訪問一個家庭，男女生的機率比較高的情況。

但往往都忽略了女生有一半的機率來開門，被忽略掉的情況。

換言之，這1/3解答的朋友認為只有女女，才會有女生先來開門，才必須做剔除。

2010-01-15 02:10:04 補充：
出現亂碼，再做補充一下

男男(1/4)，先遇到男的機率(1)，總機率為(1/4)，即下個是男生
男女(1/2)，先遇到男的機率(1/2)，此為(1/4)，即下個是女生
男女(1/2)，先遇到女，不考慮
女女(1/4)，先遇到女，不考慮
剩下男的機率為(1/4)/((1/4)+(1/4))=1/2

若改成，"家裡有男孩就一定要男孩來開門"(或是其中一個是男生的機率)
男男(1/4)，有男生機率(1)，即(1/4)，剩男生
男女(1/2)，有男生機率(1)，即(1/2)，剩女生
女女(1/4)，有男生機率(0)，即(0)
剩男機率為 (1/4)/((1/4)+(1/2))=1/3

2010-01-17 15:22:17 補充：
請會寫程式的朋友
1.用兩個亂數取1/2 製造出兩胎的機率
(先確認男男1/4、男女(1/2)、女女(1/4)確認程是正確性)

再取其中一個去開門

2.再取如果是開門的是男的，則看另外一個性別
(如果女生開門，不合題意，迴圈重取，迴圈不採計)

3.取一萬次、十萬次、一百萬次看看

反推結果
回答1/2

夫婦倆生兩男機率會變成1/3
ㄧ男一女機率會1/3
兩女機率會變成1/3


回答1/3

夫婦倆生兩男機率會變成1/4
ㄧ男一女機率會1/2
兩女機率會變成1/4

看起來答案好像是1/3吧

問題出在哪呢?

1/2的問題把(女男)的1/4機率刪掉了

關鍵在於(女男)是出生順序 而若是當做開門的見到是女的

那就會把(女男)機率刪掉

題目條件下設定是見到其中是一個男生

那就符合(男男)(女男)(男女)

(女男)見到弟弟

(男女)見到哥哥

(男男)隨便

而不要把(女男)視為見到女 因為那會是另一個問題 就會無視題目條件

把(女男)1/4機率刪除

而得到夫婦倆生兩男機率會變成1/3
ㄧ男一女機率會1/3
兩女機率會變成1/3

2010-01-17 12:34:13 補充：
若是套用有名的三門問題

則是見一男另一男機率1/3 <==這也就是不換門機率

見一男另一女是2/3<==這也就是換門機率

若是先見女的情況

見一女另一女機率是1/3<==不換門機率

見一女另一男機率是2/3<==換門機率

2010-01-17 12:40:09 補充：
總而言之呢

見一男另一男機率1/3
見一男另一女是2/3
若是先見女的情況
見一女另一女機率是1/3
見一女另一男機率是2/3

答案會如此就只是為了符合
夫婦倆生兩男機率會變成1/4
ㄧ男一女機率會1/2
兩女機率會變成1/4

小明過年期間去拜訪許久沒見面的同學，聽說同學已經生了兩個小孩，

進門後小明看到朋友其中一個小孩是男生，

請問，另一個是男生的機率為多少？


首先看到這個題目,必須要先確定幾個事情

1)"其中一個是男生,另一個是男生" 等於 "兩胎都生男"


2)"看到其中一個小孩是男生" 等於 "已知其中一個是男生"

看到的那個小孩,並沒有指定(第一胎or第二胎),如同"已知其中一個是男孩"

並未指定(第一胎or第二胎),


3)不需考慮女生來開門的情況,因為題目是在看到男生之後才產生

除非題目問說"如果進門看到是男生,另一個小孩是男生的機率"

才需要考慮女生來開的狀況,題目跟你說看到了,就不具有隨機性

因此這是已知


接下來請注意!! 看到"其中一個小孩是男生"的事件

是發生在小孩已經出生之後!!!

所以增加看到"其中一個是男生"的這個條件,並不會影響

小孩已經出生各種組合的機率


生兩個小孩的所有情況如下
男 男

女 男

男 女

女 女

回到問題本身其中一個是男,另一個是男的機率是多少?

機率是1/4我想大家都沒有問題,那我想反問另外的3/4是什麼??

另外的3/4就是不符合"其中一個是男,另一個是男的情況"

3/4扣除1/4(兩胎都女生的機率)就是2/4=1/2

你會發現2/4是不符合"其中一個是男,另一個是男"

男 男 1/4

女 男 1/4

男 女 1/4

女 女1/4

在這裡給"其中一個是男,另一個不是男"給一個名詞叫做龍鳳胎

你可以發現,事實上生"龍鳳胎的機率"是"兩胎都生男生的機率"的兩倍

也就是說

(請注意,看到其中一個男生是已知,故不考慮女生被看到的情況

已被看到,不具隨機性!!!)

"小明同學生龍鳳胎,一個男生小孩被小明看到的機率"

是

"小明同學兩個都生男,一個男生小孩被小明看到的機率"

的兩倍!!!!!,也就是2/3,換句話說,"生兩個男生被看到其中一個為男"的

機率就是 1-(2/3)=1/3

所以正確答案就是1/3

情境引導:假設你今天是小明的同學,你應該知道

你"生龍鳳胎的機率"是"兩胎都是男生的機率"的兩倍

所以你生龍鳳胎被看到其中一個是男生的機率比較大

但是小明確因為看到你其中一個小孩是男生,卻說你生兩胎都是男生的機率

是1/2???

1/2答案的人可以思考一下,是不是不符合常理???

因為小孩已經生了,你看到其中一個是小孩,並不能影響事件的機率

另外,題目的問法,使得

"其中一個為男,另一個不為男的機率"

比

"其中一個為男,另一個為男的機率"

還要高

所以才會導致有1/2的答案

因為會認為 男女 跟 女男 是一樣,所以樣本空間只要列一個

這會導致 "生男男的機率跟生龍鳳胎的機率" 是一樣的

就會導致答案是1/2,但是這並不合理

這就類似三門問題裡,你只注意當下的樣本空間

但是你卻忘記了,再給條件前,事件就已經被確定了

不會因為事後你知道部分條件,就讓事件發生的機率受到改變

以本題直觀來說

原本你有1/4的機會兩胎都生男,但是因為你看到其中一個是男的

一定沒有女女組合,所以機率從1/4上升到1/3這是很合理的,

但是絕對不會提高到1/2
,
因為你刪除不可能的組合,縮小樣本空間

所以當有指定的狀況下,比如他知道他看到的那個男生

是老大還是老二的時候,就是1/2,

因為有指定老大老二的問法,每個狀況符合問題的狀況

機率都是均等的

而不會像是本題沒有指定的問法,造成不是每個狀況的機率都是均等

所以就必須把 男女 女男 都留下來才行

同意大家的說法 應該是獨立事件
所以是1/2

這題與條件機率無關。因為您去之前都沒有人告訴您那兩個小孩的性別資訊﹐所以另一個是男生的機率為1/2。

2010-01-13 16:01:35 補充：
我認為這題與條件機率無關。因為小明去之前都沒有人告訴小明那兩個小孩的性別資訊﹐所以另一個小孩是男生的機率為1/2。 浮浪貢您是誤用了條件機率吧﹐因為照您的推論﹐則myisland8132是男的這個資訊一樣可以影響小明第二個兒子是男的機率。事實上條件機率只是適用於「事先有人告訴小明兩個小孩的性別資訊﹐例如最少一個是男」令到兩個事件不是獨立事件。若果好像這條題目﹐則該女士生男生女的概率(各1/2)就具有決定性。當然若果我們認為該女士生男生女的概率與常人有異﹐則貝葉斯統計便有機會大派用場---------雖然我都不肯定有沒有這類數學。

2010-01-13 16:04:40 補充：
注意到「山羊問題」中主持人已經說明「山羊」一定在其中一道而且只有一道門後面。因此每道門後面有沒有山羊不再是互相獨立。

2010-01-13 21:33:07 補充：
這是大前提的問題。好像香港六合彩連續4期都出了16﹐那麼明天出16的機率是大於1/49抑或小於1/49。若果我們堅持那個機器是公正的﹐則我們只可以說1/49。好像有另外一些理論可以計到另一個機率值﹐前提是已經假定架機的公正性值得懷疑。

2010-01-13 21:34:08 補充：
sorry﹐不是1/49。不過總之這個值是不變的。

2010-01-13 21:56:09 補充：
或者極端些﹐同學已經生了十個小孩，進門後小明看到朋友其中九個小孩是男生，請問，另一個是男生的機率為多少？我個人認為仍然是1/2

2010-01-18 14:15:12 補充：
對於003和004的回答。我的看法如下。兩位都受了條件機率的影響。比較原題目與以下題目。擲一粒骰子﹐猜者首先估1﹐接著投擲者告訴猜者骰子的點數是奇數﹐則猜者估中的機率是多少? 答案是1/3。但我們注意到這是一個event。而原題目是兩個event。現在看看以下題目。擲二粒骰子﹐猜者首先估它們都是1﹐接著投擲者告訴猜者第一粒骰子的點數是奇數﹐則猜者估中第二粒骰子的機率是多少? 答案應該是1/6 吧。若果您們同意的話﹐則原題目的答案亦都應該是1/2。

丟銅板2次
第一次正:機率1/2
第二次正:機率1/2…..獨立事件
P( 另一個為正I已知一個為正)
=n{( 正, 正)}/n{ ( 正, 正), ( 正, 負), (負, 正)}
=1/3
(如果訪問更多兩個小孩的家庭, 另一個為男的機率
應該是1/3)

2010-01-13 15:34:16 補充：
P(老二是男I老大是男)=1/2
P(老大是男I老二是男)=1/2
P(另一個為男I已知一個為男)=1/3

2010-01-13 20:21:51 補充：
P(老二是男I老大是男)= P(老二是男)=1/2
老大是男生,對老二是男生沒有影響…是獨立沒錯
問題是:已知一個為男,此男可能是老大, 可能是老二.
樣本空間應該是{兄弟,兄妹,姊弟,姐妹}
不應該是單純的{ 男,女}
如果訪問更多兩個小孩的家庭, 看到其中一個小孩是男生 ,另一個為男的機率直覺是小於1/2.
(抱歉,如果考慮不周,請ㄧ笑置之)

因為是獨立事件,所以是1/2

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