多項式定義的疑問....20點

多項式是整數運算的延伸,而整數運算有加減法與乘法 三運算的封閉性
故多項式定義是:未知元與常數經有限步驟"加","減","乘"三方法所得的運算式
如 2x^2 y-x^2+5為 2*x*x*y-x*x+5
加減乘的結果,未知元
不會在分母,
不會在根號內,
不會在絕對值內
不會有指數函數,對數函數,三角等函數
不會有高斯函數等

至於多項式的係數(常數)部分,則可定義為整數, 有理數, 實數,複數,或其他ring
若沒有特別指定係數的範圍,通常內定是實數! 因此係數可含分數,根號等!

2010-01-15 16:32:04 補充：
我的講法:多項式為未知元與常數經有限步驟+,-,x三法所得的運算式
未知元與常數經+,-,x所結合的結果,未知元不會在分母,根號,絶對值,...
有用到任何高一生看不懂的內容嗎?

我認為
應該是因為多項式的X如果帶任何數字都可以在數線上找到這個點
而且只有1個點
如果說X在分母
X＝0 便找不到這個點，即無意義
X在根號
若X<0 X就是虛數 也找不到虛數的點
若X在絕對值
表示X可能是+X或-X
X可以代兩種數字，就是說在數線上有兩個點

雖然我才國二
不過我想應該是這樣吧

X 在絕對值內叫絕對值函數, 在 log 或 ln 內叫對數函數, 如果是 2^X, e^X,
√X=X^1/2, 1/X=X^(-1) 叫做指數函數, 其中 lnX, e^X, 叫做自然指數和自然對數,
sinX, cosX, tanX, cotX, secX, cscX 叫做三角函數.

何謂多項式 ???? 還記得小五或小六的多步驟嗎 ??? 回憶一下.
39*139 + 39*24 -34*18-34*10 = 39*(139 + 24 ) - 34*(18-10) 對吧, 如果假設
X=39 , Y=34, 那麼上式會變成 X*(139 + 24 ) - Y*(18-10) 這個式子是什麼呢 ???
有未知數嘛, 就叫做多項式, 有兩個未知數, 叫做二元一次方程式. 沒有未知數
的叫做多步驟. 這樣子瞭解嗎 ????

我通常是跟學生這麼說的~有限項的單項式的和
或者寫成f(x)=a_nx^n+a_n-1x^(n-1)+....a_1x+a_0
其中a_k, k=0~n為任意實數, n為"正整數"

用這種定義來概括應該不會有大問題
x在分母或根號內則 n就不會是"正整數"
至於諸如2^x+, logx+log2, 3sinx+5 雖然可以化成x的麥克勞林展開式
這樣一來x又不是"有限項"了


2010-01-13 17:18:24 補充：
絕對值的狀況問題在於當x值變化時f(x)無法確定
例如f(x)=|x^2-3x+2|
當x<1或x>2時f(x)=x^2-3x+2
當1<2時f(x)=-x^2+3x-2
事實上我們之所以定義多項式函數
就是出自於"簡單性"的要求
多項式有很多性質可以方便我們解決問題
他對所有的x是"連續"的 很容易看出定義域跟值域 甚至求方程式的解也有一定步驟
換言之是實用上的要求讓我們去定義多項式

2010-01-13 17:20:51 補充：
至於你說的麥克勞林式等等
我想很多事事先知其然再知其所以然的
如果這樣定義多項式可以方便我們解決題目
那為什麼這樣定義的理由或許你可以慢慢理解
~~這是種"後現代"吧

2010-01-15 19:02:13 補充：
我想你還是從最基本的角度來看多項式"為什麼"要這樣定義?
以高中的部分來看 多項式的兩大特徵:1. 指數為正整數2.有限項
滿足這兩者就是多項式 其他的就不是
這跟回答的層次無關呀 就像生物的分類
為什麼昆蟲具有頭胸腹以及外骨骼的構造
你總不能問我這些構造是怎麼形成的吧?