int((x^3+1)/(x^4+1))dx

嘲喃

2010-01-13 6:20 am

int((x^3+1)/(x^4+1))dx
x:-infinity~infinity
(利用留數)

更新1:

所以只要是分子比分母少ㄧ階都會相消=0?(若上下限都是+-infinity) 本題是如此沒錯!!

更新2:

如果是如此呢? x^3/(x^4+2x+3) PS 只是隨便舉例意思是分子比分母只少1次

更新3:

抱歉再請教一下假如說次數少ㄧ次(如我的舉例) 是否可以用留數找到適當的路徑去做積分呢? 還是不能?為什麼? 因為我在看複變的相關書籍發現幾乎沒看過分子比分母只少一次的問題都是2次以上例如(1/x^3) 把分母的pole找出就可積出

回答 (1)

天助

2010-01-13 8:52 am

✔ 最佳答案

這一題以瑕積分觀點來說是發散的( 因分母在∞ 處的Order只比分子多1)
因此本題應求Cauchy principle value
設z1=
∫[-∞~∞] (x^3 +1)/(x^4 +1)dx
=∫[-∞~∞] 1/(x^4+1) dx
= 2π*i*{ Res of 1/(x^4+1) at z1 + Res of 1/(x^4+1) at z2 }
= (√2)π/4
where z1=cos(π/4)+i sin(π/4), z2=cos(3π/4)+i sin(3π/4)

2010-01-13 15:36:52 補充：
x^3/(1+x^4)是Odd function!

2010-01-13 16:15:22 補充：
x^3/(x^4+2x+3)不是Odd function當然不可以去除!
x^4+2x+3=0有四個虛根,不易求得,改用數值積分較實際!

2010-01-13 16:34:45 補充：
第3行,"設z1="是多餘的!

2010-01-13 19:56:21 補充：
order 差1,不可以用residue, 因在R->infty時的線積分無法忽略(不保證->0)

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