圓方程式極值問題

令P(3cosA,3sinA)在圓上
xy+x+y=9cosAsinA+3cosA+3sinA=9/2(sin2A)+3(sinA+cosA)

令sinA+cosA=k
k^2=1+2sin2A
k^2-1=2sin2A

9/2(sin2A)+3(sinA+cosA)
=9/4(k^2-1)+3k
=9/4(k^2)+3k-9/4 -根號2<=k<=根號2

k=-2/3,有最小值 -13/4
當k=根號2,有最大值 9/4+3根號2

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2010-01-12 07:21:46 補充：
昨夜筆誤,更正如下

令P(3cosA,3sinA)在圓上
xy+x+y=9cosAsinA+3cosA+3sinA=9/2(sin2A)+3(sinA+cosA)

令sinA+cosA=k
k^2=1+sin2A
k^2-1=sin2A

令f(k)=9/2(sin2A)+3(sinA+cosA)
=9/2(k^2-1)+3k
=9/2(k^2)+3k-9/4 -根號2<=k<=根號2

f(-1/3)=-4-1=-5 ,當k=-1/3,有最小值 -5
f(根號2)=9/2+3根號2,當k=根號2,有最大值 9/2+3根號2

法一:參數式
法二:圓與雙曲線相切

2010-01-13 00:25:05 補充：
法2:設圓x^2+y^2=9與xy+x+y=k相切於點(a, b), 切線斜率相等, 則
-a/b= -(b+1)/(a+1), so, (a-b)(a+b+1)=0
(1)a=b時, 代入圓得a=b=3/sqrt(2) (負不合)
故xy+x+y最大值= 9/2+ 3sqrt(2)
(2)a+b=-1時, 又a^2+b^2=9, 得 ab=-4, 故xy+x+y= -4-1= -5為最小值