高二數學 球面的內接正四面體

正四面體外接球半徑R, 內切球半徑r,則R= 3r(證明於後)
本題R=6, so, r=2, 故BCD平面方程式為 z= -2
(證明)
設正四面體ABCD邊長 2a,中心O
由O連接ABCD4線段,可將正四面體分割4個(全等)小三角錐(高r)
故正四面體體積=(1/3)*△*H=4*(1/3)△*r
so, H= 4r, then r+R=4r, 故R=3r

每面正△高(中線長)=a√3
正四面體高H^2=(a√3)^2-(a√3 /3)^2= (8/3)a^2
本題H=R+r=6+2=8, so a=2√6
底正△面積= (1/2)*(2a)^2*sin(60度)= 24√3
so,正四面體體積=(1/3)*24√3 *8=(192/3)√3