✔ 最佳答案
第4題: 是4個點的重心嗎?
2010-01-07 01:30:02 補充：
4個點的話,討論情況太多,不易寫,
若是3個點的重心,則比較好寫! 明天沒人寫我再回答!
2010-01-08 00:12:16 補充：
唉!放著題目不管?
第1題只有4組解
第5題至少有4組解(不計順序與組別)
其他證明題:略!
2010-01-15 00:21:50 補充：
第1題
1. q^2+r=1997, 則 q<=44
2. a^2+b^2=q(a+b)+r, 則 (a- q/2)^2+(b-q/2)^2= q^2/2 +r 為圓
又 r<a+b, 故圓心(q/2, q/2)與直線 a+b=r 距離 <= 半徑
so, (q-r)^2 /2 <= q^2 / 2+ r , then (q+1)^2 >= 1976 , q >= 44
so, q=44, r= 41
3. solve (a-q/2)^2+(b-q)^2= q^2 / 2 + r, ie.(a-22)^2+(b-22)^2=1009=15^2+28^2
又 r=41<a+b , 則(a, b)=(7, 50),(37, 50), (50, 7), (50, 37)四組解
第2題:
1. 原式=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+..+1/8)+...+{1/[2^(n-1)+1]+..+1/(2^n-1)}
> 1/2 + 1/2 + 1/2+ ...+ 1/2 ( n+1項) > n/2
2. 原式=1+(1/2+1/3)+(1/4+..+1/7)+...+{1/2^(n-1)+..+1/(2^n-1)}
< 1+ 1+1+...+ 1 (n項) = n
第3題:
任取一點O, 設OA向量=a, OB向量=b, OC向量=c, OD向量=d, 則
1. AB向量垂直CD向量, 則(b-a)(d-c)=0, 即bd+ac-ad-bc=0 (內積符號省略)
2. AC向量垂直BD向量, 則(c-a)(d-b)=0, 即cd+ab-ad-bc=0
3. 上兩式相減,得 bd+ac-cd-ab=0, 即(d-a)(c-b)=0, 故AD向量與BC向量垂直
第4題: (3個點吧?)
1. 先觀察x坐標除以3之餘數, 只有餘0, 1, 2三種情形
13格子點, 故最少有5個格子點x坐標除以3之餘數相同
設這些點為ABCDE...,則這些點任取3點,x坐標和必為3倍數,
故重心x坐標為整數
2. 再觀察ABCDE...(5點以上)的y坐標除以3之餘數,
必可找到3個點餘數和為3倍數, 故這3個的重心x,y坐標均為整數
第4題: (4個點case)
我用討論的,很辛苦,容我想個好法子,再補充說明.
第5題:
1,5,9,11,15,16,20,24,25(以上9數再加27, 54即得)
2,6,7,10,14,18,21,22,26(以上9數再加27, 54即得)
3,4,8,12,13,17,19,23,27(以上9數再加27, 54即得)
原理: (n+1)^2+(n+5)^2+(n+6)^2=(n+2)^2+(n+7)^2= n^2+(n+4)^2+(n+8)^2 – 18
