int[sin(ax)/(1+x^2)]dx=?

✔ 最佳答案

這類的integral transform型的improper integral，最適宜的當然是靠適當的integral transform table輔助。

對於這題，最接近的integral transform table當然是http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourSin2.pdf和http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourCos2.pdf。

2010-01-13 08:05:29 補充：
但是細心觀察http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourSin2.pdf和http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourCos2.pdf，你就會發現當分母含有x² + a²而分子含有x的時候，

2010-01-13 08:17:06 補充：
在http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourSin2.pdf中，x的次方永遠只有單數，而在http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourCos2.pdf中，x的次方永遠只有雙數，導致本題注定無法在這兩處找到答案。

2010-01-13 08:17:18 補充：
再者，Fourier Sine Transform和Fourier Cosine Transform這兩種沒有「市場價值」的東西，EqWorld能夠獨家提供Table已是一件非常幸運的事（http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm），這注定本題要自行找方法求。

2010-01-13 08:45:01 補充：
但本題自行找方法求亦有障礙：

順向思維方面：
學http://tw.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=1710011001975一樣砌second-order ode，怎料∫(0 to ∞) sin ax dx是發散的。就算砌first-order ode，無論我怎樣integration by parts，都無法擺脫「sin ax跟x的雙數次方，cos ax跟x的單數次方」這種束縛。強行把sin ax轉換成cos ax（即是會牽涉代入轉換），卻把1 + x²中的x混入constant而變得沒有著力點。

2010-01-15 06:59:44 補充：

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint0.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint1.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint2.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint3.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint4.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint5.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint6.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint7.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint8.jpg

圖片參考：http://i212.photobucket.com/albums/cc82/doraemonpaul/yahoo_knowledge/improperintegral/superimproperint9.jpg

參考資料：
http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourSin2.pdf + http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sin%28ax%29%2F%281%2Bx%5E2%29%2Cx%2C0%2Cinf%29 + http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28e%5E%28i+ax%29%2F%281%2Bx%5E2%29%2Cx%2C0%2Cinf%29 + http://www.wolframalpha.com/input/?i=Ci%28-i+a%29 + http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/inttrans/FourCos2.pdf + my wisdom of maths

2010-01-16 05:46:51 補充：
不好意思，天助，是我自作聰明，因為Ci a可以寫成∫(∞ to a) (cos a)/a da，所以我以為Chi a也可以寫成∫(∞ to a) (cosh a)/a da，現在我把∫(∞ to a) (cosh a)/a da放在Wolfram Alpha檢查才發現原來∫(∞ to a) (cosh a)/a da在任何a值都總是發散的（http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28cosh%28a%29%2Fa%2Cinf%2Ca%29）。因此，我會修改回答的。

2010-01-16 05:47:14 補充：
不論如何，結果的形式是合理的。詳見http://www.wolframalpha.com/input/?i=cosh%28a%29Shi%28a%29-sinh%28a%29Chi%28a%29。

2010-01-16 15:33:55 補充：
我很肯定∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx不是0。
因為我剛才在Wolfram Alpha試了a = 1這個case，發現它不是0。
不信的話請看http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sin%28x%29%2F%281%2Bx%5E2%29%2C0%2Cinf%29。

但∫(- ∞ to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx就肯定是0（因為(sin ax)/(1 + x²)是odd function）。

2010-01-16 15:43:47 補充：
Wolfram Alpha不能直接計算∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx，但逐個a值去考慮卻能直接計算。

我還找了∫(0 to ∞) (sin x)/(1 + x²) dx、∫(0 to ∞) (sin 2x)/(1 + x²) dx和∫(0 to ∞) (sin 3x)/(1 + x²) dx分別用Wolfram Alpha直接計算和分別用Wolfram Alpha檢查我所計算的答案（代入相應的a值），結果都能驗證我所計算的答案是正確的。

2010-01-16 15:48:12 補充：
∫(0 to ∞) (sin x)/(1 + x²) dx：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sin%28x%29%2F%281%2Bx%5E2%29%2C0%2Cinf%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cosh%281%29Shi%281%29-sinh%281%29Chi%281%29

2010-01-16 15:48:24 補充：
∫(0 to ∞) (sin 2x)/(1 + x²) dx：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sin%282x%29%2F%281%2Bx%5E2%29%2C0%2Cinf%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cosh%282%29Shi%282%29-sinh%282%29Chi%282%29

2010-01-16 15:50:19 補充：
∫(0 to ∞) (sin 3x)/(1 + x²) dx：
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28sin%283x%29%2F%281%2Bx%5E2%29%2C0%2Cinf%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cosh%283%29Shi%283%29-sinh%283%29Chi%283%29

2010-01-17 08:12:01 補充：
弄出∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx = 0這個笑話出來，我想你是還未弄清楚如何正確把該路徑積分和題目連接。

從http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration顯示，從0積到∞者會比從- ∞積到∞者需考慮更多的東西，而且會更難連接到該路徑積分。

2010-01-17 08:22:19 補充：
而且我亦相信路徑積分並不是解improper integral的萬能工具，至少本題、∫(0 to ∞) e^(- ax²) sin bx dx（http://tw.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=1710011701526）和http://mathworld.wolfram.com/Erf.html中的第31式，論其結果的樣貌，我不相信考慮路徑積分可以做到這些結果的樣貌出來。

2010-01-17 08:37:51 補充：
我只是香港人，並沒有受過路徑積分的教育，我並沒有足夠的知識可以判別你考慮路徑積分的過程是否正確。關於這點，請你另開題目發問，例如發問∫(0 to ∞) e^(iax)/(1 + x²) dx或∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx從考慮路徑積分的方向做會有甚麼難處。到時看看例如煩惱即是菩提等人願不願意理會你。

2010-01-17 08:55:36 補充：
但遺憾的是，論現在數學的作風，是不會鼓勵你把成功的例子與其類近的例子進行比較，從而得知類近的例子是否可以跟隨其成功的例子一樣的做法。

http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_contour_integration只討論成功的例子，和從來沒有一個可靠的地方可以詳細解釋∫(a to b) e^(- x²) dx是否可以像∫(- ∞ to ∞) e^(- x²) dx和∫(0 to ∞) e^(- x²) dx一樣可以用轉換到極坐標的方法去做這兩個現象可見一班。

2010-01-21 08:44:46 補充：
其實本題尚有討論空間的原因有以下幾點：

1. 我還未可以100%全靠人腦求出∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx。我當然承認能夠100%全靠人腦當永遠是最好的，但是在前者未能可行的情況下，這件電腦與人腦互相發揮的結晶品你還是暫時需要接受的，直至100%全靠人腦完全可行為止（畢竟電腦不是完全萬能的）。

2010-01-21 08:48:59 補充：
2. 還未有人可以確實地告訴你∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx能不能使用路徑積分求得，就連對路徑積分是非常熟悉的myisland8132等人（你看http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009081200922就能感受到）都沒有出現（這是否暗示著這題確實極難應付？）。導致∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx能不能使用路徑積分求得仍然是一個「迷」。

因此，若想本題尚有討論空間的話，最好的辦法當然是請你另開新題目發問上述的幾點。

2010-01-21 09:00:52 補充：
沈用戶，為甚麼你會發問這題？究竟是老師或是題目遇到，還是純粹覺得知道∫(0 to ∞) (cos ax)/(1 + x²) dx的值意猶未盡，於是更想知道∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx的值？

若是前者的話，你似乎是被老師或是題目作弄；若是後者的話，我就非常欣賞你有這樣的求知欲。

2011-09-02 15:14:23 補充：
但問題是只要任意舉一個非0的a值的例子放在計算軟體運算就已經算出不是等於0。

再者，請確定你所定的積分路徑是否真的能找到∫(0 to ∞) (sin ax)/(1 + x²) dx。

回答 (4)