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您的Q1 4.5選項
假設θ=(A+B)/2, φ=(A-B)/2
則0<θ<π/2, -π/4<φ<π/4
第四選項
(sinA+sinB)/2
=[sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]/2
利用和差化積
[sin(θ+φ)+sin(θ-φ)]/2
=2sinθcosφ/2
=sinθcosφ
不等號右邊就只有sin(A+B)/2=sinθ
根據上列φ的範圍
可得1/√2<cosφ<1
則sinθ/√2<sinθcosφ<sinθ
與題目不合，所以第四個錯誤
第五個選項
(tanA+tanB)/2
=[(sinA/cosA)+(sinB/cosB)]/2
=(sinAcosB+cosAsinB)/2cosAcosB
利用積化和差
(sinAcosB+cosAsinB)/2cosAcosB
=sin(A+B)/[cos(A+B)+cos(A-B)]
=sin2θ/(cos2θ+cos2φ)
利用二倍角公式
(1) sin2θ=2sinθcosθ
(2) cos2θ=2cos^2θ-1
得sin2θ/(cos2θ+cos2φ)
=2sinθcosθ/(2cos^2θ+2cos^2φ-2)
=sinθcosθ/(cos^2θ+cos^2φ-1)
既然題目要(tanA+tanB)/2與tan(A+B)/2 (tanθ)大小關係
則您可檢查(tanA+tanB)/2 -tan(A+B)/2與0大小關係
(tanA+tanB)/2 -tan(A+B)/2
=sinθcosθ/(cos^2θ+cos^2φ-1) -tanθ
=sinθcosθ/(cos^2θ+cos^2φ-1) -(sinθ/cosθ)
=(sinθ/cosθ)*[cos^2θ/((cos^2θ+cos^2φ-1) -1]
=tanθ*[(1-cos^2φ)/(cos^2θ+cos^2φ-1)]
=tanθ*sin^2φ/(cos^2θ-sin^2φ)
為分析容易，再修改分母
cos^2θ-sin^2φ
=cos^2φ-sin^2θ
=(cosφ+sinθ)(cosφ-sinθ)
按照上面列出的範圍
cosφ與sinθ是恆大於0
所以cosφ+sinθ必大於0
而tanθ和sin^2φ也恆大於0
可得我們要的大小關係
端看cosφ-sinθ的正負
將θ、φ以(A+B)/2、(A-B)/2代換回去
cosφ-sinθ
=cos(A-B)/2 -sin(A+B)/2
=cos(A/2)cos(B/2)+sin(A/2)sin(B/2)-sin(A/2)cos(B/2)-cos(A/2)sin(B/2)
=[sin(A/2)-cos(A/2)]*[sin(B/2)-cos(B/2)]
因為A和B都介在0與π/2間
則0<A/2<π/4, 0<B/2<π/4
在這範圍內正函數值大於餘函數值
所以sin(A/2)-cos(A/2), sin(B/2)-cos(B/2)都是正的
由以上結果推知
(tanA+tanB)/2 -tan(A+B)/2>0
則(tanA+tanB)/2>tan(A+B)/2，選項正確
接下來是您的「中」那題
請想像有一個15*15(格)的大正方形套在外面
則有16*16條線
若從這16*16條線中，直的橫的各選兩條
可將情況概分成
I.四條都在中字範圍內
II.有一條只有一部分在中字範圍內
III.有兩條只有一部分在中字範圍內
IV.有三條只有一部分在中字範圍內
V.四條都只有一部分在中字範圍內
情況I.
直的只有中間4條可選
橫的只有上下共8條可選
所以C(4, 2)*C(8, 2)=168 (*)
情況II.
再細分成
(1)那一條是橫線
則直線只有4條可選
橫線從上一情形中的8條
和另外的8條中各選一條
C(4, 2)*C(8, 1)*C(8, 1)=384 (*)
(2)那一條是直線
再分出兩種情形
1.這條線未通過中字圍起來的空白處
則直線可從靠左靠右各4條合計8條
與中間4條中各選一條
橫線可從情況I.中8選二
C(8, 1)*C(4, 1)*C(8, 2)=896 (*)
2.這條線有通過中字圍起來的空白處
則直線可從上一行條件中的4條
和中間4條中各選一條
橫線選擇範圍，只能兩條同時在上
或者兩條同時在下
所以橫線共有C(4, 2)*2種組合
C(4, 1)*C(4, 1)*C(4, 2)*2=192 (*)
以下的會再補充
若貼補充的又不見了請見諒
2010-01-03 11:03:39 補充：
情形III.
細分乘
(1)兩條都是橫線
則橫線從有超出的8條中取二
直線從中間4條中取二
C(8, 2)*C(4, 2)=168 (*)
(2)兩條都是橫線
再分成
1.兩條都未經過中字中間空白
則直線從此條件中8條取二
橫線從上下各8條中取二
C(8, 2)*C(8, 2)=784 (*)
2.有任一條經過該空白
若只有一條經過
則直線C(4, 1)*C(8, 1)=32種組合
若兩條都經過
則直線C(4, 2)=6種組合
橫線與II.(2)2.範圍相同
(32+6)*C(4, 2)*2=456 (*)
3.同時一直一橫線超出中字
沒有情形符合此條件
2010-01-03 11:04:50 補充：
情形IV.
細分成
(1)一直兩橫線超出
沒有情形符合此條件
(2)一橫兩直線超出
此超出橫線只能通過中間空白
超出直線不能通過中間空白
且只能同時集中在左或在右
C(8, 1)*C(2, 1)*C(4, 2)*2=192 (*)
情形V.
只有兩橫線皆通過中間空白
且兩直線皆不通過中間空白
又兩直線同時在左或右側
C(2, 2)*C(4, 2)*2=12 (*)
將所有(*)的數字相加即3252
若您還想更了解建議直接請教老師
希望如上回答有幫到您~~
2010-01-03 11:09:34 補充：
抱歉，回答中有誤
「在這範圍內正函數值大於餘函數值
所以sin(A/2)-cos(A/2), sin(B/2)-cos(B/2)都是正的」
是正函數值都小於餘函數值
所以兩個相乘負負得正
