高中多項式-數學一題

2009-12-27 8:14 pm

設P(X)是一個五次實系數的多項式。若P(X)除以x-3的餘式是2，且商Q(X)是一
係數均為正數的多項式

請問為什麼P(X)=0和Q(X)=0 沒有共同實根

解答寫:若有一根M使得Q(M)=0 則P(M)=2

所以P(X)=0與Q(X)沒有共同實根

我看不太懂..

回答 (1)

2009-12-27 9:49 pm

✔ 最佳答案

這個問題可以如下思考。假定P(X)=0和Q(X)=0 有共同實根﹐設為M。則由因式定理得P(M)=0﹐Q(M)=0。但另一方面﹐題設P(X)除以x-3的餘式是2﹐即 P(X)=(X-3)Q(X)+2。代M得﹐P(M)=2。這產生了矛盾﹐所以P(X)=0和Q(X)=0 沒有共同實根。

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