〔微積分〕一個加權的奇數倒數平方級數和

錯的原因是因為 f(n)的定義 乃 n 可分解為"相異因子"乘積的數目；而不是分解為"兩"相異因子。

舉例來說 3*5*7 = 15*7 = 21*5 = 35*3 = 105

因此 f(105) = 5 而不是4

2009-12-26 13:15:41 補充：
應該是不包含1

從Copestone舉的例子可看出不包含1

至於A=A ，自己本身可視為一種相異物組合

或者你可以把f(1)看成特例，反正把f(1)當0算的話最後再加進去就好了

2009-12-27 15:54:20 補充：
答案是 cosh(π/2) / 2 嗎 ??

2009-12-27 22:46:48 補充：

1.

令g(x) = (1+ x/3^2 ) * (1 + x/5^2) * (1+ x/7^2) * .....

= a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x3 + .....

那麼 g(1) = ∑_{k=0→∞} f(2k+1)/{(2k+1)^2}。

(以105來舉例，(1/105^2) = (1/3^2)*(1/35^2) =(1/15^2)*

(1/7^2)=(1/5^2)*(1/21^2) = (1/3^2)*(1/5^2)*(1/7^2)

因此 f(105)/105^2 ，有三個部分分別散落在a1、a2、a3裡

(其實可以明顯看出an就是n相異分拆的方法)

考慮所有奇數，全部加總起來，可知(a1+a2+a3+......)+1 =
所求，特別的是a0恰好等於1，因此g(1)為所求

2.

cos(xπ/2) = (1-x^2/1^2)(1-x^2/3^2)(1-x^2/5^2)....

(由cos的根可證)

取x=yi

cosh(yπ/2) = (1+y^2/1^2)(1+y^2/3^2)(1+y^2/5^2)....

因此g(1) = cosh(π/2) / 2

2009-12-29 21:27:58 補充：
把任意正奇數m分拆成n個相異因子的方法

阿飄大, 你這個答案應該是對的. 我用菩提大的方法算到四項相異數連乘, 數值上(1.254588768)和你這個答案(1.254589239)已有6位小數是一樣的.快把你的神奇算法po 出來吧!

2009-12-28 14:10:13 補充：
跟 Euler 一樣神 !!!

這樣寫吧：

f(1) = 1;
f(16) = 2〔因為 16 = 16 = 2．8〕;
f(45) = 3 〔因為 45 = 45 = 3．15 = 5．9〕等等

＝＝＝
兩位都錯。

2009-12-29 05:43:03 補充：
(其實可以明顯看出an就是n相異分拆的方法)

＝＝＝
把 n 相異分拆的方法？這句有點多餘，也看不太懂。

你指應該是：令 b_k = 1/[(2k+1)]^2

∑_{k=0→∞} f(2k+1)b_k

= 1 + ∑_{k=1→∞} b_k + ∑_{1=k < i→∞} (b_k)(b_i)
+ ∑_{1=k < i < j→∞} (b_k)(b_i)(b_j) + ....

f(1)=1 or 0 ?
若 f(1)=0, 則應是 pi^4/ 384 否則 +1

2009-12-27 23:06:06 補充：
漂亮!漂亮!漂亮!漂亮!漂亮!