硬幣滾動及自轉

圖片參考：http://photo16.hexun.com/p/2009/0305/303187/b_vip_C1E4C8FAF60FA4E34EB74009EFA2CCCF.jpg


設大圓圓心為o1，小圓圓心o2，小圓上任取兩點A和B，起始位置A點是兩點公切點，經過一小段時間滾動，B點成為兩圓公切點，A點轉到後面了。這時，小圓上的弧AB和大圓上的弧AB是一樣長度的，但是這樣一段弧線所對應的兩個圓心角是不相等的，設這段弧夾的大圓的圓心角为α，那麼所夾的小圓的圓心角應該是R/r倍的α（這個根據弧長等於半徑乘以角度可推出，注意角度用弧度制）。
在這段時間内，小圓公轉的角度是α，小圓自轉的角度是多少呢？由圖可以看出，小圓上的A點由水平左邊的位置逆時針轉到了右下角，這個變化通過矢量半徑o2A旋轉看得更清楚，顯然它轉的角度要很大，即等於R/r倍的α再加一個α，也就是（1+R/r）α。
這樣，很明顯，小圓的自轉速度比公轉速度快，同樣的時間内公轉了α角度，而自轉了（1+R/r）α的角度，自轉速度是公轉速度的（1+R/r）倍。那麼，小圓公轉一圈的時間内，自轉的圈數就是（1+R/r）圈。
特別地,當R為r的n倍時,其自轉的圈數 = n + 1 。
（這個計算比較簡單，設公轉角速度為ω，則自轉角速度為（1+R/r）ω，公轉一周時間是t=2π/ω，這段時間自轉的角度=（1+R/r）ω2π/ω=（1+R/r）2π，即（1+R/r）圈）



2009-12-21 19:52:31 補充：
第一行 :
起始位置A點是兩圓公切點。

It's clear that the point that the two circle that touch together and the point that turned 1/4
round have an angle of 90 degree. While A do not move, so B move 90 degree will give it twice as the distance. For the same principle, A change to n times radius to that of B
therefore A's circumference is n times radius to that of B. So it takes n times to achieve 90 degree that is 90(n+1) degree for B to turn, and that equals to 1/4*n then 其自轉的圈數= 2n