一題三角函數證明題

prove
cos(x)+cos(x+a)+...+cos(x+na)=sin[0.5(n+1)a]*cos(x+0.5na)/sin(0.5a)
n=0時左式=cosx=右式

設n=k時原命題成立
則n=k+1時
cos(x)+cos(x+a)+...+cos(x+ka)+cos[x+(k+1)a]
= {sin[0.5(k+1)a]*cos[x+0.5ka)]/sin(0.5a)}+cos(x+(k+1)a)
={sin[0.5(k+1)a]*cos[x+0.5ka]+sin(0.5a)cos[x+(k+1)a]}/sin(0.5a)
={sin[x+0.5(2k+1)a]+sin[0.5a-x]+sin[x+(k+1.5)a]+sin[-x-(k+0.5)a]}/2sin(0.5a)
= { sin[0.5a-x]+sin[x+(k+1.5)a]+ sin[x+0.5(2k+1)a] +sin[-x-(k+0.5)a]}/2sin(0.5a)
={sin[0.5(k+2)a]cos[-x-0.5(k+1)a]+sin0cos[x+(k+0.5)a]}/sin(0.5a)
=sin[0.5(k+2)a]cos[x+0.5(k+1)a]/sin(0.5a)
亦成立
所以由數學歸納法得知原命題成立，故得證


2009-12-18 23:40:06 補充：
如看不懂請大大來信

2009-12-19 00:00:38 補充：
真的是好久不見XDD
看了菩提大的證明簡直令我大囧
太........令人驚訝了XDDD

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這題用菩提大大的算式.較簡單,真不懂,每個人只要看到證明題上有N,就通通都用歸納法,歸納法嚴謹,沒錯,但是有一個很壞的毛病,就是真的證到最後出來,的結果和原式一樣時,卻是乏善可陳......一點滋味都沒有..

2009-12-22 12:58:16 補充：
歸納法應該要用在最後的手段,當你找不到方法時.才使用這種最後手段.......

苦於腰痛,不能久坐,久違了,大家好!

2009-12-19 00:08:10 補充：
To: 高萌度大大
您的想法也很好,互相參考參考!

2009-12-19 12:51:06 補充：
[cos(x)+cos(x+a)+..+cos(x+na)]*2sin(0.5a) (積化和差)
=[sin(x+0.5a)-sin(x-0.5a)]+[sin(x+1.5a)-sin(x+0.5a)]+..
+[sin(x+na+0.5a)-sin(x+na-0.5a)]
=sin(x+na+0.5a)-sin(x-0.5a) (和差化積)
= 2cos(x+na/2)sin[(n+1)a/2]

菩提大，真是好久不見!!