請問一個機率問題 幫忙解答

令從k格到k+1格平均需要做t_k個實驗
從0格到15格就平均需要做t_0 + t_1 + t_2 + ... + t_14個實驗
0格到1格可以是一次成功(共一次實驗),機率為p
可以是一次失販一次成功(共2次實驗),機率為pq
可以是2次失販一次成功(共3次實驗),機率為pq^2
...
因此t_0 = p*1 + pq*2 + pq^2*3 + ... = 1/p (幾何分佈) = (q/p - 1)/(q-p)方便以下計算
從k+1格到k+2格可以是實驗成功1步到k+2格或實驗失敗1步回k格平均再需要t_[k] + t_[k+1]次實驗才能到達k+2格
故此t_[k+1] = p*1 + q*{1 + t_[k] + t_[k+1]}
(1 - q)t_[k+1] = 1 + qt_[k]
t_[k+1] = 1/p + (q/p)t_[k]
由此,
t_1 = 1/p + (q/p)t_0 = (1/p)(1 + q/p) = [(q/p)^2 - 1]/(q - p)
t_2 = 1/p + (q/p)[(p + q)/p^2] = (1/p)(1 + q/p + q^2/p^2) = [(q/p)^3 - 1]/(q - p)


t_3 = 1/p + (q/p)[(p^2 + pq + q^2)/p^3] = 1/p(1 + q/p + q^2/p^2 + q^3/p^3) = [(q/p)^4 - 1]/(q - p)
...
t_14 = (1/p)(1 + q/p + ... + q^14/p^14) = [(q/p)^15 - 1]/(q - p)
t_0 + t_1 + t_2 + ... + t_14
= [1/(q-p)][(q/p) + (q/p)^2 + ... + (q/p)^15 - 15]
= [1/(q-p)](q/p)[(q/p)^15 - 1]/[(q/p) - 1] - 15/(q-p)
= [q/(q-p)][(q/p)^15 - 1]/(q - p) - 15/(q-p)
= [q/(q-p)^2][(q/p)^15 - 1] - 15/(q-p)
當q = 0, 則15步直接到達
當p = 0, 則永不能到達
當 p = q = 1/2, t_0 = 2, t_1 = 4, t_2 = 8...
t_0+t_1+...+t_14 = 240

(應該是醉步問題,但是條件模糊,請參考:)
f(k)表示 x=k後來X會達到15 的機率
f(-1)=0
f(15)=1
則 f(k)=p*f(k+1)+q*f(k-1)……..(p+q=1)
則 p*f(k+1)= f(k)- q*f(k-1)
p(f(k+1)- f(k))=(1-p)( f(k)- q*f(k-1)=q(f(k)- f(k-1))
(f(k+1)- f(k))=q/p[(f(k)- f(k-1))……即(A(k)=rA(k-1)),等比
則A(k)=A(-1)*r^(k+2) A(-1)= f(0)- f(-1),r= q/p

2009-12-18 13:33:30 補充：
f(k+1)- f(k)= A(-1) *r^(k+2)
f(k)- f(k-1)= A(-1) *r^(k+1)………(1)
f(k-1)- f(k-2)= A(-1) *r^(k)………(2)
…….
f(2)- f(1)= A(-1) *r^(3)………(k-1)
f(1)- f(0)= A(-1) *r^(2)…………..(k)
f(0)- f(-1)= A(-1) *r^(1)…………..(k+1)

左右相加: f(k) - f(-1)= A(-1)(1- r^(k))/(1-r)

2009-12-18 13:33:45 補充：
f(k)= f(-1)+ (f(0)- f(-1)) r(1- r^(k+1))/(1-r)….(!)
由f(15)=1,f(-1)=0代入(!)
f(0)=[(1-r)/r]*(1/(1- r^(16))

2009-12-18 14:38:50 補充：
訂正:


左右相加: f(k) - f(-1)= A(-1)r(1- r^(k+1))/(1-r)

2009-12-18 15:46:00 補充：
回答無法上傳
只好寫在意見

2009-12-19 12:15:05 補充：
f(k)- f(k-1)= A(-1) *r^(k+1)………(1)

f(0)- f(-1)= A(-1) *r^(1)…………..(k+1)

左右相加: f(k) - f(-1)= A(-1)r(1- r^(k+1))/(1-r)
r=1(p=q=1/2)時f(k) - f(-1)= A(-1)(k+1)
可求出
f(0)=1/16,f(1)=2/16,f(2)=3/16,....,f(14)=15/16
可是
這是會達到15 的機率
至於平均要試驗多少次X會達到15 ?

你這一題真的很怪


因為他並沒有說到底是什麼分配


不過我個人的想法是：負二項分配


原因很簡單：因為成功次數x+1次，題目問x達到15


也就是達到成功x+1=16次，所需要的實驗次數


達到固定成功次數的分配，就是負二項分配


那我就把負二項的pdf寫出來囉


f(y)=C(k+y-1，y)*p的k次方*q的y次方


(我當然知道很多課本寫x，為了不造成你的困擾，所以用y解釋)


其中C表示組合符號從K+y-1中選取y個


K為成功次數，根據題意我們認為K=16


y代表失敗次數，根據題目我們知道y=x-1


那負二項的期望值


請注意上面的y代表失敗次數


所以我失敗次數的期望值為E(y)=k*q/p


剛剛講過k=16，所以我帶入上式得E(y)=16*q/p


記得E(y)代表失敗次數的期望值（期望值就是平均的觀念）


也就是說：平均要失敗16*q/p次，才會達到16次成功


所以平均試驗次數為16*q/p+16


整理一下，16*(q/p+1)=16*(q/p+p/p)=16*(p+q)/p


別忘了p+q=1


所以最後的答案是16/p




2009-12-18 17:21:02 補充：
基本上題目根本就不太清楚


的確是隨機漫步的題目，不過正常的隨機漫步的命題


會告訴你起始值，如著名的賭徒傾家蕩產的問題


他會告訴你一開始賭徒的賭本有ｉ元


贏了＋１元，輸了－１元


賭徒不停地玩下去，直到身上的錢為０的機率為多少？


所以發問者根本沒有給我們起始值


而且ｘ－１跟ｘ＋１這種表示方式


會讓人誤會是成功ｘ＋１次，失敗ｘ－１次


這不能怪人家誤解題意吧

設要試n次
np次成功　nq次失敗

np(+1)+nq(-1)=15
np-nq=15
n(p-q)=15
n=15/(p-q)

Ans：要做15/(p-q)次

2009-12-17 23:58:00 補充：
附記：p-q＞0
　　　p＞q