外切最大矩形面積

只會第一題
(x/a)^2+(y/b)^2=1 橢圓外一點P作兩切線
此切線可垂直 則其軌跡為 x^2+y^2=a^2+b^2 (證明如下)
P=> y=mx ± (a^2*m^2+b^2)^1/2 (橢圓切線方程式)
y-mx=±(a^2*m^2+b^2)^1/2
y^2-2mxy+m^2*x^2=a^2*m^2+b^2
(x^2-a^2)m^2-2xym+(y^2-b^2)=0 ------(1)
m1*m2= -1 (垂直)
m1*m2=(y^2-b^2)/(x^2-a^2)=-1 由 (1)
x^2+y^2=a^2+b^2

而a,b為定值 a^2+b^2亦為定值
其軌跡成一圓 圓心(0.0) 半徑=(a^2+b^2)^1/2
在圓內兩條垂直的線 其第三邊必為直徑=2*(a^2+b^2)^1/2
令圓內兩垂直的線長為 t,s
t^2+s^2=直徑平方=4*a^2+4*b^2 -----------(2)
長方形面積=ts
(t^2+s^2)/2≥(t^2*s^2)^1/2 (算幾不等式)
(4*a^2+4*b^2)/2≥ts 由(2)
ts最大為 2*(a^2+b^2) =>最大長方形面積

(我原本打在意見 不過他說只能打300字)
(第二題應該也是差不多的證法吧)

Q2:應該是外接正方體吧!

總覺得有點直觀……不過詳細的證明不清楚= =