一個幾何定值的問題 - Ans.fyi 參考答案

一個幾何定值的問題

用戶3346

2009-12-13 7:07 am

AB是圓O的直徑，L是過B的切線，C為直徑AB上異於A、B的點，
DE為過C的任意弦，直線AD和L交於F，直線AE和L交於G。
試證:

(1) D、E、G、F四點共圓

(2) 當DE改變時，(1)的圓會跟著改變，請證明這些圓通過兩個定點，並準確地描述這兩個定點的位置。

更新1:

TO:天助考慮一下，當C改變時，你的P、Q是不是也會改變可是依然滿足AP*AQ=AB^2 所以你的證明不完整

更新2:

TO:天助你的BP*BQ算錯了，BE/AD不等於BC/AC 其實差不多了，能否請你整理一下假設BC/AC=k，用k和AB表示BP和BQ(或是AP和AQ)

回答 (1)

天助

2009-12-13 9:15 pm

✔ 最佳答案

三角形ABF, ABD為直角三角形, 故AD*AF=AB^2 (定數)
同理, AE*AG=AB^2=AD*AF,
故DEGF四點共圓, 且過A點作該圓的切線段長=AB (定數)
設四點所共圓與AB直線交於P, Q兩點, 則AP*AQ=切線段長^2=AB^2
P, Q與所共之圓變化無關,故P,Q為所有共圓都通過的兩定點

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AD04686329/o/160912120943713872711280.jpg

Yea!可以插圖了!

2009-12-13 21:43:31 補充：
設角DAB=x, 角EAB=y, BP=a, BQ=b,則
BP*BQ=BF*BG=AB^2*tanx*tany=AB^2*BD*BE/(AD*AE)=AB^2*(BE/AD)*(BD/AE)
=(AB*BC/AC)^2 (定值)
(1) AP*AQ=(AB-a)(AB+b)=AB^2, 得 b-a=AB*(BC/AC)^2
(2) BP*BQ=ab= (AB*BC/AC)^2
由(1)(2)知a, b由 AB, AC, BC決定, 故P, Q為固定點(由C決定, 與D, E變動無關)

2009-12-13 22:37:16 補充：
真是眼殘,修改如下:
設角DAB=x, 角EAB=y, BP=a, BQ=b, AB=1, BC=k,則
BP*BQ=BF*BG=AB^2*tanx*tany=AB^2*BD*BE/(AD*AE)=AB^2*(BE/AD)*(BD/AE)
=AB^2(BC/CD)*(BC/CE)=(AB*BC)^2/(CD*CE)=(AB*BC)^2/(BC*AC)= k/(1-k) (定值)
(1) AP*AQ=(AB-a)(AB+b)=AB^2, 得 1/a - 1/b= 1
(2) ab= k/(1-k),得 (1/a)(1/b)= (1-k)/k
a, b由k決定,故P, Q為定點

👍 0 👎 0