關於2001年數統高考的一條問題.

(a) (i)沒有人使用A入口進入大廈 = f(0, 3.2) = 0.0408
(ii)沒有人使用B入口進入大廈 = f(0, 2.7) = 0.0672
(iii)至少有一個人進入該大廈 = 1 - (沒有人使用A入口進入大廈 * 沒有人使用B入口進入大廈)
= 1 - 0.0408*0.0672
= 0.9973
(iv)方法一:恰好有兩個人進入該大廈 = f(2, 3.2)*f(0, 2.7) + f(2, 2.7)*f(0, 3.2) + f(1,3.2)*f(1,2.7)
= 0.04768
方法二:f(2,2.7 + 3.2) = f(2,5.9) = 0.04768
(b)(i) k 為進入該大廈機率最高的可能人數
即P(X = k-1) < P(X = k) 及 P(X = k+1) < P(X = k)
P(X = k-1) < P(X = k)
=> λ^(k-1)*e^(- λ)/(k - 1)! < λ^k*e^(- λ)/k!
=> 1 < λ/k
=> k < λ
P(X = k+1) < P(X = k)
=> λ^(k+1)*e^(- λ)/(k + 1)! < λ^k*e^(- λ)/k!
=> λ/(k+1) < 1
=> λ < 1 + k
=> λ - 1 < k
因此 λ - 1 < k < λ
(ii) λ = 5.9
4.9 < k < 5.9 => k = 5
k個人進入的機率 = f(5,5.9) = 0.1632
不是k個人進入的機率 = 1 - 0.4619 = 0.8368
對任意5個連續的十五分鐘時段,第三次在一個十五分鐘內恰好有k個人進入該大廈是發生在第五個十五分鐘時段內,即首四次有兩次是k個人進入,有兩次不是k個人進入,第五次是k個人進入
機率 = 4C2 * 0.1632^2 * 0.8368^2 * 0.1632
= 0.0183