Change of family of circles 2

C1: x^2 + y^2 + D1x + E1y + F1 = 0
圓心(x1,y1) = (-D1/2, -E1/2)半徑r1=√(D1^2/4 + E1^2/4 – F1)
C2: x^2 + y^2 + D2x + E2y + F2 = 0
圓心(x2,y2) = (-D2/2, -E2/2)半徑r2=√(D2^2/4 + E2^2/4 – F2)
x^2 + y^2 + D1x + E1y + F1 + k(x^2 + y^2 + D2x + E2y + F2) = 0
首先假設其中兩圓(k = k1及k= k2)相交於點M.經過簡單的演算可證C1及C2皆通過M與命題有矛盾，因此所有圓成員不相交。
x^2 + y^2 + (D1 + kD2)x/(1 + k) + (E1 + kE2)y/(1+k) + (F1 + kF2) = 0 ...(P)
圓心[(-1/2)(D1 + kD2)/(1 + k), (-1/2)(E1 + kE2)/(1 + k)]
圓心x坐標 = (x1 + k x2)/(1+k)
圓心y坐標 = (y1 + k y2)/(1+k)
可見(x,y)處於(x1,y1)及(x2,y2)共線上，其與(x1,y1),(x2,y2)的距離比例為k:1
當k = -∞時, (x,y) = (x2,y2), 明顯r = r2。該圓實際為C2。
當 k 增加,絶對值下降時,(x,y)會續漸遠離(x2,y2)並向(x1,y1)反方向進發,其時r會變大,直到k = -1時,式(P)化為一直線(介乎C1及C2之間，並和兩圓中心所成直線垂直),亦可視作一個以無限遠為圓心的無限大圓.
當k剛比-1大小許時,(1 + k)改變了正負,那圓心便由(x2,y2)那邊的無限遠轉到(x1,y1)那邊的遠方,也是一個很大很大的圓。而且k增大時圓會續漸變小,當k減至0時,式(P)變為C1,自然圓心 = (x1,y1), 半徑 = r1.
然後當k一路加大,(x,y)也一路由(x1,y2)向(x2,y2)進發,整個圓都在C1之內,而且r愈來愈小.終於變成一點.
當k繼續增加時，在某一範圍內，式(P)不存在於實數x-y空間。
此一範圍可以(1/4)(D1 + kD2)^2/(1 + k)^2 + (1/4)(E1 + kE2)^2/(1 + k)^2 - F1 - kF2 < 0 求得.
當k超越這一範圍後，圓會在C2內出現，從一點開始，漸漸變大，圓心亦向(x2,y2)進發,一直當k = ∞時圓又變回C2了。

圖片參考：http://img341.imageshack.us/img341/6379/circles.png


2009-12-06 10:25:42 補充：
距離比例為k:1 => (x - x1)/(x2 - x) = k
當x趨於無限大時, x - x1 趨於無限大; x2 - x 趨於負無限大, (x - x1)/(x2 - x)趨於 -1.
當k = -1, 直接代入方程得一直線.

2009-12-06 10:44:29 補充：
當k = -1, 直線為(D1 - D2)x + (E1 - E2)y + (F1- F2) = 0
想知和圓心離距,可直接用圓心座標代入點和線距離方程式,再比較兩個數:
| D1(D2-D1) + E1(E2-E1) + 2(F1-F2) | / | D2(D2-D1) + E2(E2-E1) + 2(F1-F2) |
是一個看似複雜的數式.

nelsonywm2000，上次在http://hk.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=7009072800274，我唔記得咗問你x² + y² + D_1 x + E_1 y + F_1 + k(x² + y² + D_2 x + E_2 y + F_2) = 0在k = -1時（即是一條直線）其位置的具體細節（你回答的未夠具體），例如與x² + y² + D_1 x + E_1 y + F_1 = 0和x² + y² + D_2 x + E_2 y + F_2 = 0的邊緣或是其圓心的距離比例。請你在這裡回答。

2009-12-06 03:48:24 補充：
回到這題，「可見(x,y)處於(x1,y1)及(x2,y2)共線上，其與(x1,y1),(x2,y2)的距離比例為k:1」你是否搞錯了？

因為當k接近- 1時，(x,y)在遠處，又怎會是k:1呢？

nelsonywm2000,厲害牙!

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