Change of family of circles 1

C1: x^2 + y^2 + D1x + E1y + F1 = 0
圓心(x1,y1) = (-D1/2, -E1/2)半徑r1=√(D1^2/4 + E1^2/4 – F1)
C2: x^2 + y^2 + D2x + E2y + F2 = 0
圓心(x2,y2) = (-D2/2, -E2/2)半徑r2=√(D2^2/4 + E2^2/4 – F2)
x^2 + y^2 + D1x + E1y + F1 + k(x^2 + y^2 + D2x + E2y + F2) = 0
x^2 + y^2 + (D1 + kD2)x/(1 + k) + (E1 + kE2)y/(1+k) + (F1 + kF2) = 0 ...(P)
圓心[(-1/2)(D1 + kD2)/(1 + k), (-1/2)(E1 + kE2)/(1 + k)]
圓心x坐標 = (x1 + k x2)/(1+k)
圓心y坐標 = (y1 + k y2)/(1+k)
可見(x,y)處於(x1,y1)及(x2,y2)共線上，其與(x1,y1),(x2,y2)的距離比例為k:1
當k = -∞時, (x,y) = (x2,y2), 明顯r = r2。該圓實際為C2。
當 k 增加,絶對值下降時,(x,y)會續漸遠離(x2,y2)並向(x1,y1)反方向進發,其時r會變大,直到k = -1時,式(P)化為一直線(穿越兩圓相交的兩點),但亦可視作一個以無限遠為圓心的無限大圓.
當k剛比-1大小許時,(1 + k)改變了正負,那圓心便由(x2,y2)那邊的無限遠轉到(x1,y1)那邊的遠方,也是一個很大很大的圓。而且k增大時圓會續漸變小,當k減至0時,式(P)變為C1,自然圓心 = (x1,y1), 半徑 = r1.
然後當k一路加大,(x,y)也一路由(x1,y2)向(x2,y2)進發,開始時因圓心續漸迫近兩圓相交點的共線,所以r也愈來愈小,及至k = [2(F1-F2) – (D1-D2)D1 – (E1-E2)E1]/[(D1-D2)D2 + (E1-E2)E2]時,(x,y)和兩交點H及K共線,HK變為圓的直徑,這時圓的半徑為最小.
當k再加大時,(x,y)繼續向(x2,y2)進發,r亦隨著增大,一直當k = ∞時圓又變回C2了。

2009-11-27 23:13:57 補充：
補充:每個圓都經過H及K

2009-12-06 10:26:38 補充：
距離比例為k:1 => (x - x1)/(x2 - x) = k
當x趨於無限大時, x - x1 趨於無限大; x2 - x 趨於負無限大, (x - x1)/(x2 - x)趨於 -1.
當k = -1, 直接代入方程得一直線.

「可見(x,y)處於(x1,y1)及(x2,y2)共線上，其與(x1,y1),(x2,y2)的距離比例為k:1」你是否搞錯了？

因為當k接近- 1時，(x,y)在遠處，又怎會是k:1呢？