關於maths & stat past paper問題.

用戶20117

2009-11-25 4:31 am

王老太每天從一供應商購買一箱箱的橙.她的採購準則是從箱中隨機地選取五個橙,若五個都沒有壞,則該箱橙為合格.在一般情況下,有2%的橙是壞的.
(A)求一箱橙會被王老太界定為不合格的概率.
(B)每天,王老太會持續購買每箱合格的橙,直至發現有一箱不合格時便停止購買.問王老太在一天內平均檢驗多少箱橙?答案須準確至一位小數.
(C)今天,王老太的目標是要從該供應商購買20箱合格的橙.她不會採用(B)中的停購準則,而會持續檢驗各箱枸直至目標完成.可惜該供應商只有22箱存貨.
(I)求她可完成目標的概率.
(II)假設她能完成目標,冰她只需檢驗20箱橙的概率.
(D)該供應商打算進口較優質的橙,好使每箱會被王老太界定為合格的概率不低於95%.若這些橙有R%是壞的,求R在可接受範圍內的最大值.

我對於D分佈係唔識.

回答 (1)

用戶9112

2009-11-25 5:26 am

✔ 最佳答案

(A)有2%的橙是壞的 => 98% 是好的
5個都好的機率 p = 0.98^5 = 0.9039
一箱橙會被王老太界定為不合格的概率 = 1 - 0.9039 = 0.0961
(B) 檢驗1箱橙的機率 = 1 - p
檢驗2箱橙的機率 = p(1 - p)
檢驗3箱橙的機率 = p^2(1 - p)
檢驗n箱橙的機率 = p^(n-1)(1 - p)
檢驗橙箱數的期待值 = (1)(1 - p) + (2)(p)(1 - p) + (3)(p^2)(1 - p) + ... +
= (1 - p)[1 + 2p + 3p^2 + 4p^3 + ...]
考慮 x + x^2 + x^3 + x^4 + ... = x / (1 - x)其中 0<x<1
兩邊微分 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... = 1 / (1 - x)^2
因此 (1 + 2p + 3p^2 + ...) = 1 / (1 - p)^2
檢驗橙箱數的期待值 = 1 / (1 - p) = 10.4
(C) (I)她可完成目標, 即
A. 首20箱都是好
B. 首20箱1箱壞 + (第21箱好或第21箱壞第22箱好)
C. 首20箱2箱壞 + 第21, 22箱好
A的機率 = p^20
B的機率 = (20C1)p^19(1-p)[p + (1- p)p]
C的機率 = (20C2)p^18(1-p)^2(p^2)
要求機率 = p^20 + 20p^20(1- p)(2 - p) + 190p^20(1 - p)^2 = 0.6445
(II) 首20箱都是好的概率 = p^20 = 0.1326
假設她能完成目標,她只需檢驗20箱橙的概率
= 0.1326 / 0.6445
= 0.2058
(D) (1 - R%)^5 > 95%
(1 - R/100)^5 > 0.95
1 - R/100 > 0.9898
R < 1.02
R的最大值 = 1.02

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