Multivaribles Problem

Let X = A - B
Ux = ΣX/N
= Σ(A - B)/N
= ΣA/N - ΣB/N
= Ua - Ub
Sx^2 = Σ(A - B)^2/N - (Ua - Ub)^2
= Σ(A^2/N) + Σ(B^2/N) - 2ΣAB/N - Ua^2 - Ub^2 + 2UaUb
= Σ(A^2/N) - Ua^2 + Σ(B^2/N) - Ub^2 - 2(ΣAB/N - UaUb)
= Sa^2 + Sb^2 - 2Sab
The required probability is then computed based on the normal distribution of X: Pr(A > B)
= Pr(0 < X)
= Pr[(0 - Ux)/Sx < Z]

2009-11-26 01:25:11 補充：
假設A = 香港人的身高 (continuous data).
Finite population count = m = 7,000,000
平均身高 = ∑(身高) / 7,000,000 和 Discrete data 全無關係
(Outcome of rolling dice is discrete data.)
是否想表達Finite population 和Infinite population的分別?
Infinite population 就要用integration?

2009-11-26 01:25:37 補充：
假設B = 台灣人的身高
Finite population count = n = 23,000,000
X = A - B 香港人的身高和台灣人的身高 之差
Finite population count = N = m* n = 7,000,000 * 23,000,000
要計算每一配對的可能性才能真正建立有關statistics
不見得N是Sample count???

2009-11-26 01:25:50 補充：
∑X/N是有點intuitive,but just want to make my point simple...
= ∑[i = 1 to m, j = 1 to n](A - B)/N
= ∑[i = 1 to m, j = 1 to n] A/N - ∑[i = 1 to m, j = 1 to n] B/N
= ∑[i = 1 to m] nA/N - ∑[j = 1 to n] mB/N
= ∑[i = 1 to m] A/m - ∑[j = 1 to n] B/n
= Ua - Ub
Standard deviation 雷同

2009-11-26 15:30:53 補充：
我的第一部份是回應Discrete和Continuous data的跟進疑問.用∑和Discrete和Continuous data無關.
我留下來十多年的參考書都不用E(x)及Var(X)這些符號,都是用∑表達的,從不失實用價值.我也較喜歡這種表達形式,你就當是我個人喜好吧.若你不喜歡,你便用你的"正規"吧.我看這條問題,也是從實用角度來考量,你說題目給的空間是整條實數線,或許從學術角度是這樣子,從實用角度我便從沒見這種情況.到底學術上的Infinite population, infinite range of data到終的目的是去approximate真實世界的情況.

Copestone: 两個不同的正態分佈相加減，其結果符合正態分佈。故我說nelsonywm2000的方法很高明。但卻不能應用於多過两個正態分佈的例子。而我所說的discrete case，我想是nelsonywm2000一時笔誤而己，畢竟"Σ"是用於discrete case，而不是continuous。不過還是感謝nelsonywm2000的回答。

samuelnganu:

誰跟你說 nelsonywm2000 在做 discrete case？你完全誤會他的意思吧。

首先，我必須說的，A and B normal 不表示 (A, B) 是 jointly bivariate normal。因此，你題目一定要說出 (A, B) 的 joint distribution，不然什麼都不用計算。

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所以，我們就假設 (A, B) 為 bivariate normal。

由一些定理可知，此時 X = A - B 就一定是 normal。

2009-11-25 03:57:00 補充：
所以，只要算出 E(X) 及 Var(X) 就完全可知 X 的分配。

E(X) = E(A - B) = U_a - U_b
Var(X) = Var(A - B) = Var(A) + Var(B) - 2Cov(A, B) = (S_a)^2 + (S_b)^2 - 2S_{ab}.

nelsonywm2000 的寫法有點累贅多餘而已。

2009-11-25 04:03:22 補充：
三維嗎? 即假設 (A, B, C) jointly trivariate normal。

你說得對，不能推廣上列方法，問題轉成 A > max{B, C}，而 max{B, C} 不是 normal!

但原因不是你說的什麼 discrete, continuous。而是我說的原因，max{B, C} 不是 normal!

2009-11-25 18:47:01 補充：
兩個 normal distributions 相加減，不一定是 normal。

必須加上他們的 joint distribution 為 bivariate normal 或者 independent (uncorrelated 就夠）的這類充份條件。

＝＝＝
nelsonywm2000 的表達的確有問題，N 從何而來 ?母體的 N 有無窮個。不過我不認為他是把它當成 discrete case，而似乎是當成 sample。無論如何，他的表達都有問題。

2009-11-26 09:01:47 補充：
你的表達的確有問題。

香港既然有 700,0000 人，全部身高的 data 就是 700,0000，都是 finite。這樣表達只是 discrete case 的情形。

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但本題呢？
∑X/N 是什麼意思？〔符號也怪，同樣的 X？那不就是 X 本身？〕

你是想說 E(X) 吧？題目給你的空間是整條實數線。
定義 E(X) 時當然要積分！沒有 intuitive 不 intuitive 的問題，表達就錯了。

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總之，姑果你的意思原來指的就是 E(X) 及 Var(X)，何必弄一個不應該存在的 N 出來？小問題而已，但是讀的人會很難理解你不太正規的表達，OK？

2009-11-27 10:19:08 補充：
題目給你的是 real random variable!!你改了題目麼？跟實用角度什麼事？這只是簡單的數學問題，你完全不用考慮真實的世界。

你喜歡用什麼奇怪方式表達當然也是你的事，在知識+也無所謂，但不要傳導這種不是公共約定的語言就好。

我看過不下二十本的有關機率論書，你這種用 summation sign 來表達一般 expectation operator 的，我還真是第一次見，不然你以為，何以發問者會誤會你的意思？

Feller、鍾開萊、Shirayayev、Billingsley、Loeve 這些基礎書，隨便去翻一本吧。