0 次冪的問題

0^0 在任何數學領域上都定義為1﹐畢竟人們總不成在微積分時定義0^0=0而在組合數學上時是1吧‧

至於0^0=1 的理由我覺得最好用以下推理方法。

一 我們知道 a^m/a^n=a^(m-n) 所以令m=n時﹐a^(m-n)=a^0=1。換句話說﹐在a 不是0時﹐a^0=1。

二 現在將問題轉去範疇輪(日文叫做圈論)﹐考慮映射 f:A->B。若果B的數目是m而A的數目是n﹐則可能形成的映射數是m^n。而為了數學上的一致與和諧﹐這條公式應對一中所說的情況也成立﹐即m^0=1 當m<>0。但n=0 表示A是空集。空集既然沒有元素﹐那可能形成的映射數便與B的大小沒有關係。所以即使B是空集﹐形成的映射數也應是1。因此0^0=1。

有人說﹐在組合數學中，將n相異物分給m人的方法有m^n種，當n=0，不用分就可完成，本身就是一種方法。但問題在於既然沒有東西可分﹐那不是沒有方法分嗎?即是零種方法。好明顯這是「語言遊戲」。其實背後的理由都只不過是為了數學上的一致與和諧。但當0 相異物分給0人時便不能推論答案﹐用自由心證應該是0的機會還要大些。故我會用選擇範疇輪的方法去解釋。

#002

你的意思就是說, 強行給 0^0 定義是沒有多大的意義!!
原來是因為 0^0 在不同領域上有不同的值????

2009-11-20 07:30:08 補充：
完全明白你的意思....多謝....

請分清推論及 convention。

m^n 是映射數目，只對 A, B 為非空集合成立。

當你強行去數 B 為空集合時，或 A 為空集合時的映射數目，本身並無任何意義，因為根本就不存在任何這樣的映射，你只是作為一種 convention, 算成只有一個映射。

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回答者的真正內容，說白了就是當我們數東西時，0^0=1 是一種很好的 convention。並不代表一定要如此定義，特別是在數學分析上，更不會把 0^0 定義為 1，而是作為 indeterminate form 來處理。遇上複數，更有多值的問題，此時強行定義 0^0 意義已經不大。

2009-11-20 05:02:40 補充：
在某些領域內，如數學分析中，你定義 0^0 為確定的值是沒有多大「用途的」。

不過，在離散數學中常數東西時定義 0^0 = 1，很多公式都得到簡化，這就是一種方便的 convention。

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不是說在不同領域有不同的值，而是說這是一種 convention，不是公理，是為了方便及簡化表達數學內容。如果這種 convention 無法表達你希望表達的數學內容，這時候就得換另一種 convention。在數學分析中, 0^0 不是一個數，而是一個形式，indeterminate form。

2009-11-20 05:14:06 補充：
我的意思時，當你可以因為定義了 0^0 = 1 時，就能很方便又簡潔地「表達」你的數學內容，這就是一個好的 convention。

再強調，是一種 convention!!表達才是重點！！

例如要一條式子表達二項式定理，(x+y)^n = \\sum C(n, k)．(x^k)(y^{n-k})

這公式要一次寫出來，隱含了 C(n, 0) = 1。可是什麼叫做從 n 個 object 不選東西只有一種組合？再來代入 x = 1, y = 0 在左邊得出 1，右邊最後一項為 (1^n)．(0^0)，這時定義了 0^0 = 1，公式就一次過，不然分案描寫，很煩的表達。

2009-11-20 05:58:51 補充：
未定形式的最佳例子就是：

實數係數多項式環中的 x，本身並不需要有固定的意義，只要滿足多項式幾個的規則就可以了。這個 x 就是一種形式，不一定是數字〔當然代入數字所有規則一定成立〕，例如可以是方陣，甚至是無窮維空間上的算子，同樣可行，不是麼？

I think 0^0 not=1