power series solution for ODE

I find y=0。Let y=Σ a_nx^n,y'=Σ (n+1)a_n+1x^n,y''=Σ (n+2)(n+1)a_n+2x^n
(n from 0 to infinity)
Sub. into x^2y"+5xy'+(x+4)y=0
x^2[Σ(n+2)(n+1)a_n+2x^n]+5x[Σ (n+1)a_n+1x^n]+(x+4)[Σ a_nx^n]=0
Σ[(n+2)(n+1)a_n+2]x^(n+2)+Σ[5 (n+1)a_n+1+a_n]x^(n+1)+[Σ4a_n]x^n=0
Σ[(n+2)(n+1)a_n+2]x^(n+2)+Σ[5 (n+2)a_n+2+a_n+1]x^(n+2)+(5a_1+a_0)x
+[Σ 4a_n+2]x^(n+2)+4a_0+4a_1x=0
So Σ[(n+2)(n+1)a_n+2+5 (n+2)a_n+2+a_n+1+ 4a_n+2]x^(n+2)+4a_0+(9a_1+a_0) x=0
We have [(n+2)(n+1)+5 (n+2)+4]a_n+2+a_n+1=0,a_0=0,a_1=0
So a_n=0 for all n and thus y=0

並不是所有多項式系數的線性微分方程都可以找到power series solution，我相信這題就是一個非常好的例子（myisland8132已經暗示了原因）。

面對這題，第一，你可以盡量solve it analytically，第二，你可以把它盡量轉換成較簡單的type才找其power series solution。

代入u = xⁿ，然後選擇一個適當的n值使它可以變成線性系數的線性微分方程（即(Au + B)y" + (Cu + D)y' + (Eu + F)y = 0這樣式），這無論是選擇第一抑或第二都會變得更容易做到。

2009-12-13 06:45:04 補充：
但是，myisland8132，這條微分方程確實可以找到power series solution，並不是像你的回答中找到只是y = 0這樣的「廢解」。

不信的話請你看看台灣的一間大學所出產的其中一份notes：
http://www.ntut.edu.tw/~lincc/em.pdf#page=062

但計算過程就真是要慢慢摸索了。

2010-09-30 14:11:01 補充：
http://faculty.pccu.edu.tw/%7Emeng/Math5.pdf#page=7

零是一解. 但非唯一解此題x=0是一regular singular point, 要用Frobenius Theorem求級數解而非Fuches' Theorem 保證的McLaurin series type 的級數解.