證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解

👨🏻‍🏫 學術台數學

[匿名]

2009-11-05 5:58 am

證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解
證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解
證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解
證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解
證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解
證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解
證明an+3=2^n ,a為正整數時 n值無解

更新1:

外加~ 當n為正整數且不能表示為4k-1的形式(k為正整數)時 2^n-3 恆為質數??

回答 (5)

myisland8132

2009-11-06 1:48 am

✔ 最佳答案

若n是偶數﹐則右手邊是偶數﹐左手邊是奇數。矛盾。

因此n是奇數﹐由此推得a亦是奇數。雖然用不著。
因2與n互質。所以 2^n=2 (mod n)
而an=0 (mod n) 3=3 (mod n) 除非 n=3 那時 3=0 (mod 3)
但3=2 (mod n) 或者 0=2 (mod 3) 都是矛盾。除非 n=1
但n=1時a+3=2=>a=-1不合
因此an+3=2^n對任意正整數a無解

👍 0 👎 0

doraemonpaul

2009-11-15 10:26 am

2^1 - 3、2^2 - 3和2^8 - 3已經不是質數，因為http://www.research.att.com/~njas/sequences/A050414。

其實怎會這麼容易找到質數數列（f(n)使n為任何正整數時f(n)為質數）？如果是的話，你必定會獲得數學獎。

👍 0 👎 0

Copestone

2009-11-06 12:14 pm

myisland8132 是錯的，我指的廣義費馬小定理自然是 cutebaby 說的這個。

不過題目掃過就沒有細想下去，所以我說可以證明也是錯的，因為原來題目是錯的！

求解要用一些技巧，也必須電腦協助，不然手算到明年都有可能。因為令題目錯的 n 會很大．．．

n = 19 * 47 * 5263229 = 4700063497

這已經是令 2^n ≡ 3 (mod n) 成立的最小 n 了。天啊呀！這種題目也敢出．．．是否故意誤導呢？差一點以為命題為真。

2009-11-06 04:16:14 補充：
參考：

http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm

還可以看到此題其中另外 3 個解。也有別的方程的一些解，大都是要用電腦跑出來。

我倒聽說過 2^n ≡ 1 (mod n) 是無解，但也沒聽說過已被證明，不知道是否為 open problem？有待網友告知。

👍 0 👎 0

cutebaby

2009-11-06 9:41 am

請問一下，費馬定理是這樣的嗎？？？？

(2,15) = 1 ----> 2^15 ≡ 2 (mod 15) ?????

應該不是吧！

費馬定理應該是說：(2,15) = 1，與 1~15 與 15 互質的個數為 8

所以 2^8 ≡ 1 (mod 15) ---> 2^15 ≡ 8 (mod 15)

大家說的應該是 n 為奇質數時才對吧！

題目應該就是要證明，對於任意奇數 n 2^n - 3 ≡ 0 (mod n) 是不成立的！

2009-11-06 12:08:07 補充：
從 Copestone 提供的資料看來，
是乎有可能任一奇數 c 必存在ㄧ奇數 n 使得：

2^n ≡ c (mod n)

換句話說：

必存在二奇數使得 an + c = 2^n 成立！

這題應該是 Copestone 大大得分！(因為先找到相關資料)

👍 0 👎 0

[匿名]

2009-11-05 7:28 am

n值有解,把 an+3=y , 2^n=y 兩圖形畫出來就知道了

👍 0 👎 0

收錄日期: 2021-04-26 13:44:46
原文連結 [永久失效]:
https://hk.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091104000015KK08899

檢視 Wayback Machine 備份