一元奇數次方的實多項式必有一實數解

一元三次方程式的解應該與【代數基本定理】及【中間值定理】無關。
因為一元三次方程式已經可以經過一些技巧證明其公式解的存在。

請參閱：http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405101504559

所以可以直接假設其解分別為u、v、w，所以依複數之特性，
若一元三次實係數方程式必含有【非實數根】，則其【共軛複根】必為另一解，那麼最後一根就必定為【實根】。

對於【一元 N 次實係數方程式】(N>=5) 已經被證實不存在【公式解】，所以要由別的方式來證明，有其困難度，或許能，但是相信其方法應該會與【代數基本定理】或【中間值定理】有相對的等價關係。

2009-11-03 23:48:14 補充：
另一個疑問是【代數基本定理】應該就是純代數的方法吧！

在【代數論 Abstract Algebra】中是架構ㄧ個包含複數體之代數體(Field)，使其任意【非常數多項式】在其代數體上可以完全分解，再證明【至少有一根落在複數體上】，也就是【代數基本定理】的証明內容，所以不應該屬於【分析方法】吧！

否則【純代數】方法應如何定義？！

2009-11-04 15:35:54 補充：
【中間值定理】不就是利用【連續】的特性嗎？
而【代數基本定理】卻與【連續】無關！

2009-11-05 17:26:41 補充：
【代數基本定理】是證明了【 任意一元 n 次負係數多項式 ( n>0 ) 】在複數體上至少有一零根，進而得到恰有 n 個零根。

而一元 3 次方程式的公式解是利用【一元 2 次方程式】的公式解來證明出，它的確有 3 個複根，過程如我【提供的資料】，完全沒有用到【代數基本定理】吧！

再接著利用若 f(z) = 0 且 w 為 z 的共軛複根 --> f(w) = 0
最後利用 z*w*v = 常數項 ---> v 為實數 ( v 是第三根 )

過程中應該沒有用到【代數基本定理】。

2009-11-05 17:58:46 補充：
您提供的網址，其證明文字敘述如下：

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86#.E6.8B.93.E6.89.91.E5.AD.A6.E8.AF.81.E6.98.8E

它是利用【拓撲學】上的【卷繞數】的性質，證明而得到的反證，因為我不是主修這門理論，所以無法詳細說明其證明的過程。

2009-11-05 17:58:53 補充：
關於我說的代數學上的【代數基本定理】的証明，我記得是利用包含複數體 C 的可完全分解 f(z) 的擴充體 E，再利用 E 在 C 上的【 階 degree 】，最後證明至少有一根落在 C 上，我在確認看看，證明過程中是否有用到【一元奇數次方的實多項式必有一實數根】的性質。

謝謝指教！

2009-11-05 22:38:01 補充：
【及時而出】大大說的對，代數學上的【代數基本定理】是建立在【一元奇數次方的實多項式必有一實數解】上而證明出來的，而【一元奇數次方的實多項式必有一實數解】是建立在【中間值定理】上得到的，

書前面有提到，到目前為止，尚未發現以【代數】來證明【代數基本定理】的方法，而多數的數學家也認為應該【不存在】其代數證明法，換句話說【一元奇數次方的實多項式必有一實數解】也可能【不存在】代數證明法。(因為是等價題型)

但是一元 3 次方程式公式解是直接利用一元 2 次的公式解得到的，所以應該是屬於【代數法】。

2009-11-05 22:39:24 補充：
所以【代數基本定理】之證明其實與代數一點關係的沒有.....
(記得是某些歷史背景，才把它稱作【代數】基本定理)

到下面的網址看看吧

▶▶http://*****

針對一元三次實多項式，
微分加上勘根定理行不行呢？
若一元三次實多項式f(x)的領導係數為正，則f'(x)為開口向上拋物線，
這意味著在拋物線頂點右邊，x越大，f(x)越大，f(x)終有變成正數的時候，
在拋物線頂點左邊，x越小，f(x)越小，f(x)終有變成負數的時候，
又f(x)處處連續，所以f(x)與x軸至少有一交點，即f(x)的實根。

2009-11-04 02:36:31 補充：
反之，
若一元三次實多項式f(x)的領導係數為負，則f'(x)為開口向下拋物線，
這意味著在拋物線頂點右邊，x越大，f(x)越小，f(x)終有變成負數的時候，
在拋物線頂點左邊，x越小，f(x)越大，f(x)終有變成正數的時候，
又f(x)處處連續，所以f(x)與x軸至少有一交點，即f(x)的實根。

不可能x趨近於正無限大與負無限大時，f(x)都趨近於正無限大
(而開口向上的拋物線就會這樣)
也不可能x趨近於正無限大與負無限大時，f(x)都趨近於負無限大
(而開口向下的拋物線就會這樣)
一定是一端正無限大，另一端負無限大

簡言之，必存在實數a,b使得f(a)與f(b)一正一負，故a,b之間有實根。

螞蟻雄兵 大：
您其實已經應用了"代數基本定理"這結果了....

事實上我是想知道有沒有可以繞過任何分析方法去完成"代數基本定理"。

2009-11-04 15:23:25 補充：
克勞棣愛養鴨王子李子達 大:
多謝你的意見。
您提到的"又f(x)處處連續，..."，這其實就是分析方法。其實只要捉住"連續"這特性，您可以寫得再簡短一點。

2009-11-04 15:36:33 補充：
cutebaby:
你提到的：
"...其解分別為u、v、w，所以依複數之特性，若一元三次實係數方程式必含有【非實數根】，..."
你這裡就是用了”代數基本定理”的結果。
你知道甚麼是”代數基本定理”嗎？
你知道”代數基本定理”有多少個証明嗎？
你又知否你所說的代數體的完備過程中，關鍵的一步就是”一元奇數次方的實多項式必有一實數根”？

2009-11-04 15:56:05 補充：
cutebaby:
所以我說：
我想知道有沒有可以繞過任何分析方法去完成"代數基本定理"。

又請問你下面代數定理的証明，為什麼會和拓扑有關？
http://www.youtube.com/watch?v=nRO_4IYOdq8