求(1/a)+(1/b)+(1/c)=1的所有整數解

3/a >= (1/a)+(1/b)+(1/c)=1

a <= 3

當 a = 1 , 1/b + 1/c = 0 , b = - c

得解(-k,1,k)


以下討論當 a b c 都不為 1 時 :


當 a = 2 , 1/b + 1/c = 1/2

2/b >= 1/2

4/b >= 1

b <= 4

當b=2 , 無解
b=3 , 得c=6 即 (2,3,6)
b=4 , 得c=4 即 (2,4,4)

當a = 3 :

由於 a <= b <= c , 明顯只有 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

得 (3,3,3)


未知大師方法是否一樣。










2009-10-31 09:35:16 補充：
差點忘了 a < 0 :

以上討論當a>0 。

當 a 為負 = - k 時,

1/b + 1/c = 1 + 1/k

因此 b , c 中必有 1 , 而c>=b , 得 b = 1 , c = k

得解 (- k , 1 , k)

2009-10-31 09:44:08 補充：
多謝大師提點,我也太大意了, 由a <= b <= c , 當 a=1 ,
b , c中有負數 < a ,茅盾。

2009-10-31 11:46:21 補充：
所以當 a=1 方程無解。

2009-10-31 12:11:46 補充：
補充:

當b=1, 1/a + 1/c = 0

a= - c , 得解(-k,1,k)

當c=1, 1/a + 1/b = 0

a = - b, 同樣有解 (- k , 1 , k)

2009-10-31 12:14:24 補充：
此時 k=1

2009-10-31 12:49:38 補充：
為什麼1/b + 1/c = 1 + 1/k，因此 b , c 中必有 1呢？

右端 >= 1, 所以 1/b 及 1/c 中至少一個為正,

假設b為負,1/c 為正,最大值是 1 ,負+1 明顯小於右方,不成立;

當b為正,由c>=b, c 亦為正,

若b,c中無 1,

1/b + 1/c 最大 = 1/2 + 1/2 = 1 ,明顯小於右方,不成立,

因此 , b = 1 , c = k

2009-10-31 13:04:33 補充：
承上,原因是如你所說 b <= c，b沒有正數解,而已證明b不為負了。

tonyleung052大：
a <= 3是沒錯，但你忘了a除了可以是3,2,1以外，還可以是負數
而且a=1其實是無解吧！？

2009-10-31 12:14:19 補充：
tonyleung052大：
為什麼1/b + 1/c = 1 + 1/k，因此 b , c 中必有 1呢？
而且就算b,c中有1，為什麼這個1一定落在b頭上，不能落在c頭上呢？
(就算b <= c，b沒有正數解，但b可能有負數解吧！？)

我想這兩件事並不是那麼trivial(顯而易見、不證自明)吧！？
我真的覺得不夠trivial。(雖然"a <0時，必然b=1"是事實)
煩請再稍加解說一下，為什麼a <0時，必然b=1？

2009-11-01 00:04:30 補充：
喔！你想得比較直接，我是這樣：
當a <0時，1/b+1/c=1-1/a >1
1.
若b,c皆正，1/b+1/c <=1/b+1/b=2/b，又1 <1/b+1/c，
所以1 < 2/b → b <2，但b為正數，所以b只能是1
2.
若b,c一正一負，必然是b負c正
1/b <0，且1/c <=1，兩式相加得1/b+1/c <1，與1/b+1/c >1矛盾，故無解
3.
b,c皆負，很明顯矛盾。(因為1/b+1/c >1)

所以a <0時，必然b=1。
大同小異啦！