Σk^n有沒有公式解?

請參閱我早期的科展報告的結果：

圖片參考：http://210.71.107.10/~mathbox/2007math/1.jpg


圖片參考：http://210.71.107.10/~mathbox/2007math/2.jpg

Denote Sk (n)=1^k + 2^k + ... + n^k. There exist a recursive formula such that you can use the previous formula of Sk-1 (n), Sk-2 (n),... S1 (n) to find out Sk (n)
k+1C1Sk (n)+ k+1C2Sk-1 (n)+...+k+1Ck+1S0 (n)=(n+1)k+1-1

where S0 (n)=n.

For example, 2C1S1 (n)+2C2S0 (n)=(n+1)2-1

S1 (n)=(n2+2n-n)/2=n(n+1)/2
There is a similar formula which is related to Bernoulli numbers. However, since to find out those Bernoulli numbers also requires using other recursive formulae. So, I omit them here.

公式很簡單，只要你知道 Bernoulli 數，一個在數論中非常重要的有理數序列。

∑_{k=1→n} k^m
= {1/(m+1)} ∑_{k=0→m} (B_k)．C(m+1,k) ．n^{m+1-k}。

其中 B_k 為 Bernoulli 數。

這個議題我以前研究過, 確實有關聯, 只是沒那麼明顯
就是他的係數有公式, 例如將1^n＋2^n＋3^n＋......＋k^n的
公式展開後, k^(n+1)項的係數必定是1/(n+1), k^(n), k^(n-1)等各項的係數也有公式, 但不是很好看出來.