因式分解的一個大問題

交叉相乘法,是用來分解二次式的。

原理如下 :

(ax + b)(cx + d) = ac x^2 + (ad + bc)x + bd

例如 :

把14 x^2 + 53x + 45 分解成 (2 x + 5 )(7 x + 9 ) :

考慮 14 = 2*7
45 = 5 * 9
而令到 2*7 + 5*9 = 53
假如不當考慮 14 = 14*1 或 45 = 3 * 15的話,就得不到
53。
所以要憑直覺去試。

即 2 *7 x^2 + (2 *9 + 5 *7 ) + 5*9

2 ********5.............(2x+5)
.. X

7 ********9 ............(7x+9)
---------------

2 *9 + 5 *7 = 53

所以結果為(2x+5)(7x+9).


又如因式分解 : 20 x^2 - 58x - 42
經反覆試驗 :

20 = 4*5
- 42 = 3 *( - 14 )

5 * (-14) + 4 * 3 = - 58

5 *********3..............(5x+3)
......x
4 *********-14 ..........(4x-14)
-------------------
5 * (- 14) + 4 * 3 = -58

結果 = (5x+3)(4x-14)

交叉相乘法還可用於未知數 : 三個較深的例子,請樓主
細心啄磨 :
1. x^2 - 4xy + 4y^2- 6x +12y + 8

= (x^2 - 4xy + 4y^2) - (6x - 12y) + 8

= (x - 2y)^2 - 6(x - 2y) + 8

= (x - 2y)^2 + (- 2 + - 4)(x - 2y) + (-2)(-4)

=(x - 2y - 2)(x - 2y - 4)


2. （x +y ）（x +y +2xy）+（xy + 1）（xy - 1）

= (x + y)^2 + 2xy(x + y) + (xy + 1)(xy - 1)

= (x + y)^2 + [(xy + 1) + (xy - 1)] (x + y) + (xy + 1)(xy - 1)

= (x + y + xy + 1)(x + y + xy - 1)


3. （x^2 + 3x - 1）（x^2 + 3x - 2）- 6

設 (x^2 + 3x - 1) = y :

原式 = y(y - 1) - 6

= y^2 - y - 6

= y^2 + (2 + -3)y + (2)(- 3)

= (y + 2)(y - 3)

原式 = (x^2 + 3x - 1 + 2)(x^2 + 3x - 1 - 3)

=(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 4)















2009-10-21 12:28:52 補充：
在例二中,(5x+3)(4x-14)應寫成最簡式 : 2(2x-7)(5x+3)

或一開始時先把 20 x^2 - 58x - 42 寫成 : 2(10x^2 - 29x - 21)

再用交叉相乘法分解 10x^2 - 29x - 21 = (2x - 7)(5x + 3).....(數字細更容易)
補乘 2 得最後結果 2(2x-7)(5x+3).