高二 排列 組合

試證下列恆等式:
(2n)!=2^n(n)!1*3*5．．．(2n－1)

Sol

當n＝1時

左=(2)!=2

右=2^1*1=2

So n=1時為真

設n=k時為真

ie (2k)!=2^k(k)!1*3*5．．．(2k－1)

So

2^(k+1)(k+1)!1*3*5*(2k－1)(2k+1)

=2^k(k)!*1*3*5*(2k－1)*[2*(k+1)*(2k+1)]

=(2k)!*[2*(k+1)*(2k+1)]

=(2k)!*[(2k+1)*(2k+2)]

=(2k+2)!

So n=k+1 時為真　　得證

很好 我明了 感謝你

2^n(n!)1*3*5*...*(2n-1)
= 2^n(n!)1*2*3*...*2n / [2*4*6*...*(2n)]
=2^n(n!)[(2n)!] / [2^n(1*2*3*...*n)]
=2^n(n!)[(2n)!] / [2^n(n!)]
= (2n)!