數學運算問題 10點 需詳解

f(x) = x3 - 3mx + 2n 可被 (x - 1)2 整除

df(x)/dx = 3x2 - 3m 可被 (x - 1) 整除

f'(x) = 3x2 - 3m

根據因式定理，f'(1) = 0

3(1)2 - 3m = 0, m = 1

此外，f(x) = x3 - 3mx + 2n 可被 (x - 1)2 整除，即它亦可以被 (x - 1)整除

f(1) = 0 (因式定理)

(1)3 - 3(1)(1) + 2n = 0

n = 1

因此，2m + 3n = 2(1) + 3(1) = 5



2009-10-12 18:37:41 補充：
df(x)/dx 是f(x)對x作微分

方法1
　　　　　　　　　ｘ＋２
　　　　　　　　─────────────────
ｘ^２－２ｘ－１）ｘ^３＋０ｘ^２　　－３ｍｘ＋２ｎ
　　　　　　　　 ｘ^３－２ｘ^２　　－　　ｘ
　　　　　　　　─────────────────
　　　　　　　　　　　　２ｘ^２－(1－３ｍ)ｘ＋２ｎ
　　　　　　　　　　　　２ｘ^２　　　－４ｘ　－２
　　　　　　　　─────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０
So m=1，n=１
2m+3n=5

2009-10-13 11:28:39 補充：
方法2
x^3－3mx+2n=(x+a)(x－1)^2
=(x+a)(x^2－2x+1)
=x^3－2x^2+x+ax^2－2ax+a
=x^3+(a－2)x+(1－2a)x+a
So
A－2=0，1－2a=－3m，2n=a
a=2，m=1，n=1
2m+3n=5

2009-10-13 11:28:59 補充：
方法３
f(x)=x^3－3mx+2n=(x+a)(x－1)^2
f(1)=1－3m+2n=0
3m－2n=1
f’(x)=3x^2－3m=2(x+a)(x－1)+(x－1)^2
f’(1)=3－3m=0
m=1
n=1
2m+3m=5