數學搭火車機率問題

方法一：

每位旅客進入4節車廂的組合數目 = 4
6位旅客進入4節車箱的總組合數目 = 4^6 = 2^12

考慮第二節車箱恰有其中2位旅客的情況：
在6位旅客中選取其中2位進入第二節車廂的組合數目 = C(6,2) = 15 = 5 * 3
餘下 4 位旅客進入其他三節車廂組合數目 = 3^4
因此，第二節車箱恰有其中2 位旅客的組合數目 = (5 * 3) * 3^4 = 5 * 3^5

因此，所求的機率
= 第二節車箱恰有其中2 位旅客的組合數目 / 總組合數目
= 5 * 3^5 / 2^12 ...... (答案)


方法二：
每位旅客進入第二節車廂的機率 = 1/4
每位旅客進入其他車廂的機率 = 1 - 1/4 = 3/4

要第二節車箱中恰有2位旅客，必須在6人中選2人（C(6,2)）進入第二節車廂（(1/4)^2），而餘下4人進入其他車廂（(3/4)^4）。
因此，所求的機率
= C(6,2) * (1/4)^2 * (3/4)^4
= 6!/4!2! * (1/4^2) * (3^4/4^4)
= 5 * 3 * (1/2^4) * (3^4/2^8)
= 5 * 3^5 / 2^12 ...... (答案)


課題：排列、組合和機率