求工程數學解

1.(x^2+1)y'=-tany，y(0)=2/1π
這題可以用變數分離法
(x^2+1)dy/dx = -tany
(1/tany)dy = -(1/(x^2+1))dx
(coty)dy = -(1/(x^2+1))dx ….兩邊各自積分
ln｜siny｜= -arctan(x)+C
siny = e^(-arctan(x)+C)
y=arcsin(e^(-arctan(x)+C))
y(0)=π/2，arcsin(e^(-arctan(0)+C))=π/2，C=0
y=arcsin(e^(-arctan(x)))
2.y'+y=y^2，y(0)=-1
這題是柏努利方程，令y=1/z，y’=-z’/z^2，代入原方程式得
-z’/z^2+1/z=1/z^2 …. 兩邊同乘以z^2，重新整理得
z’-z=-1 …. 簡單的一階線性微分方程，兩邊同乘以e^(-x)
e^(-x) z’ - e^(-x) z = - e^(-x)
(e^(-x) z)’ = - e^(-x) …. 兩邊各自積分
e^(-x) z = e^(-x) + C …. C為任意常數
z = 1 + C e^x
y = 1/(1 + C e^x)
y(0)=-1，1/(1+C)=-1, C=-2
y = 1/(1 - 2e^x)

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