〔數論〕再看 idempotent 元素

Q1:
m(m-1)≡0 (p^n)
while (m, m-1)=1, so, m≡0 (p^n) or m≡1 (p^n)

Q2:
2009=7*7*41
m(m-1)≡0 (2009)
(m, m-1)=1 => m≡0 (49) or m≡1 (49)
case 1: m≡0 (49)=> m= 49a (a=1,2,3, ..., 40)
m(m-1)≡0 (2009) => a(49a-1)≡0 (41) => 49a≡1 (41)
8a≡1≡-40 (41) => a≡-5≡ 36 (41), m≡ 49*36 (2009)
case 2: m≡1 (49), m≡ 49a+1 (a=1,2,...,40)
m(m-1)≡0 (2009) => 49a+1≡0 (41)
8a≡-1≡40(41), a≡5(41)
so, m=49a+1= 246
故 m^2≡m (2009) => m≡0, 1, 246, 49*36 (2009)


2009-10-10 14:41:07 補充：
Q1: m(m-1)為 p^n的倍數=> m or m-1為質數p的倍數
但m , m-1互質, 不可能均為p之倍數=> m, m-1(之一)為 p (p^n)之倍數

2009-10-10 14:42:58 補充：
m , m-1互質應該算重要, 否則怎知不是 ap, bp型式呢?

2009-10-10 14:44:13 補充：
Co大之前的作答,不也強調a, b互質嗎?

(1) m^2 ≡ m (mod p^n), then m(m-1) ≡ 0 (mod p^n). m(m-1) ≡ 0 (mod p) Since there is no zero divisor in Z_p, m ≡ 0 or 1 (mod p).

Moverover, 0^2 ≡ 0 and 1^2 ≡ 1 (mod p^n).

2009-10-11 16:44:51 補充：
(2) n=2009=7^2*41. Using the algorithm given in "Exercises in basic ring theory" We have a={1,41,49,2009} and the idempotent elements are given by x=ua where (x,n)=a, ua+v(n/a)=1 which are {0,1,-245,246}.

菩提是想說：「單從」m 與 (m-1) 之互質，就可以推出

m≡0 or 1 (mod p^n)？

你說的話太短，看不出來，你認為 p^n 的角色是什麼？

＝＝＝
不過，你對〔２〕部份之回答較完整，需要好好衡量一下選那一個了。呵，又造成搶答對我不利之局面，真是的。

2009-10-10 14:59:08 補充：
菩提：

你說的對，n > 1 時沒有排除 ap, bp 型。

2009-10-10 15:05:49 補充：
所以，myisland8132 在證明出 m ≡ 0 or 1 (mod p) 後，並不能得出

m ≡ 0 or 1 (mod p^n)。

2009-10-10 15:08:46 補充：
看證明太快走眼了，現在選那一個沒問題了。下次沒那麼簡單了，呵！

2009-10-10 17:09:00 補充：
To myisland8132:

Given m^2 ≡ m (mod p^n)

你「只」證明了兩件事：
〔１〕m ≡ 0 or 1 (mod p)
〔２〕If m ≡ 0 or 1 (mod p^n), then m^2 ≡ m (mod p^n)。

可是我要的是 〔２〕的 converse 也對，這是你沒有交待的。

2009-10-11 17:24:11 補充：
008 的意見：

你還是沒有看清楚啊，代入的意思。

我真是服了你：我們不談這，就說　logic。
解方程 (x+1)(x-1) = 0.
一個必要條件是 (x+ 1)(x - 1)(x-2) = 0, right？〔增加可能解〕

好了，然後你〔不小心只〕代入 x = 1 到原方程，發現是解，就「可以」說 x = 1 是唯一解麼？

要 check 就一定要 check 必要條件「所有的可能」〔包括 x = 2 在內〕。〔不然你永不知道你可能少代了什麼〕

2009-10-11 17:26:46 補充：
同理，在你沒有 check 所有必要條件得出的 possibilities 時，你怎能知道除了 0, 1 外，沒有其他解，你只 check 了 0 及 1，其他的呢？你要排除就要證明再無其他可能！！