微積分2題求救

1. lim (x→1) (x + x2 + x3 + ... + xn - n)/(x - 1)

= lim (x→1) (1 + 2x + 3x2 + ... + nxn-1) (L' Hospital Rule)

= 1 + 2 + 3 + ... + n

= n(n + 1)/2


2. lim (x→inf) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)/(3x + 1)5

= lim (x→inf) (1 + 1/x)(1 + 2/x)(1 + 3/x)(1 + 4/x)(1 + 5/x)/(3 + 1/x)5

= (1 + 0)(1 + 0)(1 + 0)(1 + 0)(1 + 0) / (3 + 0)5

= 1/243

若沒學過羅必達法則

第一題可利用微分定義

第二題分子分母同除以 x^5

即可

我來解解看:
1. 原式帶入1為 0/0 使用羅必達 上下各微一次
= lim x=1 (1+2x+3x^2+.....+nx^(n-1))/1
=1+2+3+....+n
=n(n+1)/2


2. 這題比較麻煩 看不懂再問我
原式帶入無限大後 為 ( 無限大)/(無限大 ) 但使用微分法會微到吐血
上下展開成多項式後,直接看多項式最高次方的比值(將最高次消去後)
考試可這樣寫:
原式展開 = lim x=無限大 x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e/ (3^5)x^5+fx^4+gx^3+hx^2+jx+k (展開成多項式,係數求第一項的就好,其他項用常數暫替)
= lim x=無限大 x+ ax^(-1)+bx^(-2)+cx^(-3)+dx^(-4)+ex^(-5)/ (3^5)x+fx^(-1)+gx^(-2)+hx^(-3)+jx^(-4)+kx^(-5) (上下同除x^5後
,帶入x=無限大,可看出上下只剩下首項,其他為零)
= x/(3^5)x
= 1/ 3^5 = 1/ 243