微積分難題

f(x) = x^3 + kx^2 + 1
f’(x) = 3x^2 + 2kx
假設切點為(x,x^3 +kx^2 +1)
則其和原點的斜率 = (x^3 +kx^2 +1) /x = 3x^2 +2kx
由此可得2x^3 +kx^2 – 1 = 0
對三次式的方程式來說,其實數解不是一個就是3個
但題目卻說有兩條切線,代表此方程式共有3個實數解,其中兩個為重根

若重根部份為x = -1的話,則k = 3
若重根部份為x =1的話,則k = -1(不合)
至於重根部份為2x+1或2x-1,就不列入考慮
所以k = 3……………….(解答)

謝謝!謝謝!

覺得釋塵大大有跳針
這種跳法想必不是您所要的詳解
在此補完

由題目可知
f(x) = x^3 + k x^2 + 1
並設過原點直線
g(x) = mx

先交代下目的，等會是要求 x= 多少時，是f(x) 跟 g(x)的切點

2009-09-29 19:52:09 補充：
設過原點直線，即不含常數項，相切即斜率一樣
m = f ' (x) = (3x^2 + 2kx)
g(x) = mx = 3x^3 + 2kx^2

又因 f(x) 跟 g(x) 相切 ，相切部分有值相等
所以 f(x) = g(x)
隨即得到 2x^3 + 2kx^2 - 1=0

由首項系數 2 和末項系數 -1 可猜測，可能具下列形式因式
(2x+1),(2x-1),(x+1),(x-1)

接下來就接釋塵最後四行了