關於 a^x 和 log x / log a 的問題

解 ax=logax
假設a>1, 在(x,y)平面上做y=ax的圖, 及y=logax的圖
可以發現是兩條不相交的對稱曲線, 對稱於直線 y=x, 故無解
假設0<a<1,
在(x,y)平面上做y=ax的圖, 及y=logax的圖
可以發現是兩條相交於一點的對稱曲線, 對稱於直線 y=x, 故有一解
此解為 x=ax=logax
以 a=0.5為例, x=0.6411857445…

2009-09-26 10:54:17 補充：
考慮 a是比1大一點得數字, 例如 a=1.001
y=(1.001)^x 的圖形, 在 1<10時, 是接近 y=1直線
y=log x/log1.001的圖形, 在 1<10時, 是接近x=1直線
兩條曲線相交在 (1,1)附近
y=(1.001)^x 曲線在 x變很大時會快速往上升
y=log x/log1.001曲線在 x變很大時上升速率變很慢
兩條曲線又會相交一次, 故有兩個解

當 a=2時, 兩條曲線不相交, 無解
由此可以歸納有一值 c, 1<2, c^x 與 log x/ log c兩條曲線相切, 剛好有一解

2009-09-26 10:54:41 補充：
令 y = a^(x) - log x/ log a, 利用excel代入不同的a計算函數值, 若y值橫大於0, 則兩曲線不相交, 若y值有正負正的變化, 表示相交於兩點
a=1.4時 有正負正的變化, a=1.5時橫大於0, 故 1.4<1.5
a=1.44時 有正負正的變化, a=1.45時橫大於0, 故 1.44<1.45
如此連續上下逼近, 得 c=1.44466786..., 而此時 x=2.718....有沒有很眼熟
這時x值就是自然對數 e, 所以c值可以由 c^e=e算出
c = e^(1/e) = 1.44466786100977
而且兩條曲線的切點是 (e,e)

2009-09-26 10:54:49 補充：
所以 a^x = log x/ log a的解有下面幾種可能

1. 0<1時, 有一個解
2. 1

e^(1/e)時, 無解

2009-09-26 10:55:26 補充：
所以 a^x = log x/ log a的解有下面幾種可能

1. 0<1時, 有一個解
2. 1

e^(1/e)時, 無解

2009-09-26 10:55:55 補充：
所以 a^x = log x/ log a的解有下面幾種可能

1. 0<1時, 有一個解
2. 1

e^(1/e)時, 無解

2009-09-26 10:58:30 補充：
2. 1

e^(1/e) 無解

2009-09-26 11:01:20 補充：
昏倒, 沒辦法顯示, 全用國字
a大於0小於1時, 有一個解
a大於1小於1.44466786100977, 有兩個解
a等於1.44466786100977, 有一個解
a大於1.44466786100977, 無解

2009-09-26 11:02:13 補充：
無法顯示, 請看意見

2009-10-05 14:09:27 補充：
a=0.01時確實會有三個解, 0.94148837 , 0.277987425 , 0.01309252
版主用勘根定理可以觀察到這麼仔細, 真是厲害, 圖形上可以這樣解釋
例如有一條拋物線, 把它左歪一點, 同一條拋物線把它右歪一點, 這兩條左右歪的拋物線便會交於三點
將a值變大, 觀察到 a接近1/(e^e)時, 三根逐漸重疊到0.367879441=1/e, a大於1/(e^e)便只有一解
結論為:
a大於0小於1/(e^e)時, 有三個解
a大於等於1/(e^e)小於1時, 有一個解
a大於1小於e^(1/e), 有兩個解
a等於e^(1/e), 有一個解
a大於e^(1/e), 無解

a^x與 log_a(x)互為反函數, 兩圖形對稱於直線y=x
故兩函數圖形若有交點,必交於直線 y=x上
作圖觀察可知
(1)0<a<1=> a^x= log_a(x)恰有一解
(2)a>1時
當 a越小時, y=a^x, y=log_a(x)越可能有交點
故找出 y=a^x與 y=log_a(x)相切時的a值,是關鍵值
設 y=a^x與y=log_a(x)相切(切點在y=x上),則
(導數) a^x* lna= 1/(xlna) = 1 (y=x斜率為1)
=> x= 1/lna 代回上式
=> e*lna= 1 => lna= 1/e=> a= exp(1/e)
故 1<a< e^(1/e)時, a^x=log_a(x)有兩實根
a> e^(1/e)時, a^x=log_a(x)沒有實根
a= e^(1/e)時, a^x= log_a(x)恰一實根= 1/lna= e = 2.71828....

2009-09-30 17:59:11 補充：
a=0.01時, 觀察y=a^x, y=log_a(x)兩圖形的交點可知a^x=log_a(x)只有一實根

2009-10-01 16:30:22 補充：
a=0.01時, 觀察y=a^x與y=log_a(x)兩曲線的交點知,a^x=log_a(x)恰一實根
怎會有三根? 那就得問您是怎麼做的?

2009-10-02 01:17:24 補充：
a < 1時,真的有三根的情形!三根重合(於x=y)時為關鍵,這時候a^x=log_a(x)
且y=a^x=log_a(x)的切線斜率=-1 => 交點x= 1/e, a= 1/e^e, 故
0 < a < 1/e^e時,有三根, a=1/e^e時一根(x=1/e), 1/e^e <= a < 1時一根,
1 < a < e^(1/e)時有二根,a=e^(1/e)時一根(x=e), a > e^(1/e)時無解

2009-10-02 02:01:19 補充：
a<1時不容易看到3個根的,請教一下您怎麼看到的呢?